Para poder hablar de las propiedades de las potencias, primeramente debemos comprender, ¿qué son las potencias? Es una forma simplificada de representar un número que se multiplica por si mismo un número determinado de veces. Las potencias se escriben de esta manera:
En las potencias, la base es el número que se multiplica, y el exponente es el número de veces que se multiplica. De esta manera:
25 = 2·2·2·2·2
33 = 3·3·3
Fácil, ¿verdad?
Las potencias nos son útiles para expresar operaciones muy largas, ya que escribir de forma desarrollada, por ejemplo, escribir de forma extendida 450 sería bastante tedioso.
Ya conocemos lo qué son las potencias pero... ¿cómo podemos operarlas? Para poder operar las potencias, deben conocerse una serie de reglas especiales. En este artículo trataremos la multiplicación y división de potencias, así como la realización de potencias de una potencia.
Para poder dividir y multiplicar potencias, estas deben tener o bien la misma base o bien el mismo exponente:
1. Para multiplicar potencias de la misma base, mantenemos la base y sumamos los exponentes:
72 · 75 = 72+5 = 77
2. Para multiplicar potencias del mismo exponente pero diferente base, se multiplican las bases y se conserva el exponente:
43 · 53 = (4·5)3 = 203
3. Para dividir potencias de la misma base, mantenemos la base y restamos los exponentes:
4. Para dividir potencias del mismo exponente pero diferente base, se dividen las bases y se conserva el exponente:
Además de poder hacer productos de potencias (es decir, multiplicar potencias), también se puede hacer la potencia de un producto. Lo mismo ocurre con los cocientes (es decir, las divisiones): se puede hacer la potencia de un cociente.
En ambos casos, elevaremos cada uno de los miembros al exponente:
5. Potencia de un producto: Se eleva cada uno de los números que participan en la multiplicación al exponente y posteriormente, se multiplican
(2 · 4)5 = 25 · 45
6. Potencia de un cociente: Se eleva cada uno de los números que participan en la división al exponente y posteriormente, se dividen
Un error muy común entre los alumnos es intentar aplicar esta propiedad a sumas y restas, lo cual no se puede hacer (¡bajo ningún concepto!), ya que solo aplica a productos y cocientes. Para resolver sumas y restas elevadas al cuadrado deberán aplicarse las conocidas como igualdades notables (ver post sobre las igualdades notables)
Además, se pueden hacer potencias de potencias, multiplicando los exponentes
7. Potencia de una potencia: Se deben multiplicar ambos exponentes.
(72)3 = 72·3 = 76
Aunque es muy raro, podría realizarse la potencia de una potencia de una potencia (es decir, tres exponentes elevándose sucesivamente). En este caso, simplemente multiplicaríamos los tres exponentes:
((72)3)4 = 72·3·4 = 724
Los siete puntos mencionados anterioremente son las siete propiedades de las potencias, las cuales serán aplicados en diferentes operaciones.
Son bastante comunes los ejercicios en los que se requiere la aplicación de estas propiedades para reducir un conjunto de potencias a una sola.
