Considérese este breve ensayo una corta, pero a la vez concisa, presentación de una posible serie de artículos que haré para mis futuros alumnos. En éste, daré varias definiciones y teoremas relacionados con la teoría de conjuntos a nivel de fundamentos de la matemática que se desarrolla en primero de carrera de las titulaciones relacionadas con la materia.
Dicho esto, comencemos por lo básico:
Definición. Llamamos conjunto a una colección de objetos, a los que llamaremos elementos, agrupados sin un orden específico.
Definición. Si en la colección de objetos importa el orden, entonces la llamamos tupla.
Pero de estas estructuras ya nos encargaremos más adelante.
Esta definición, aunque específica, es muy poco precisa, por lo que la completaré con un ejemplo:
El número e, la letra ‘a’, un litro de leche, una expresión de desacato, el concepto de la felicidad y la frase “el concepto de la felicidad”. Éste es, según la definición anteriormente dada, un conjunto perfectamente válido. De hecho, sigamos añadiendo elementos. Ahora volvemos a añadir el número e: el conjunto no ha cambiado, pues la colección de elementos que tenemos es la misma. Este hecho lo podemos enunciar con la siguiente propiedad:
Propiedad. Dos conjuntos son equivalentes si tienen exactamente los mismos elementos.
Nada nos impide ahora añadir el conjunto, que no enunciaré formalmente pues todavía no tenemos las herramientas disponibles, formados por los tres primeros números naturales y el cero a nuestro conjunto original.
Definición. Llamamos cardinalidad de un conjunto a su número de elementos.
Por lo que sabemos, nuestro conjunto tiene siete elementos.
A saber:
- El número e.
- La letra ‘a’.
- Un litro de leche.
- Una expresión de desacato.
- El concepto de la felicidad.
- “El concepto de la felicidad”
- El conjunto de los tres primeros números naturales más el cero.
No hemos de confundirnos con la información tergiversada que hemos dado, a propósito por otra parte, de los elementos del conjunto. El número e sale dos veces, pero representa el mismo elemento del conjunto, así que solo “cuenta” como una. No es lo mismo el concepto de la felicidad que la frase incompleta “el concepto de la felicidad”: uno es la idea a representar y el otro es algo que representa dicha idea.
Por otra parte, el conjunto que forma el último elemento, si bien contiene varios objetos dentro de su estructura, es un solo componente de nuestro primer conjunto, pues un conjunto es un elemento más a tratar.
Creo que este es un buen momento paraintroducir un poco de notación matemática. Formalmente, se puede expresar el un conjunto de dos maneras, ya sea indicando todos sus elementos uno a uno (o si resulta imposible dar una pista al lector de los elementos que tiene indicando una pequeña muestra).
De esta forma, el conjunto formado por los tres primeros números naturales más el cero, se puede expresar como {0, 1, 2, 3}.
Otra forma de expresar un conjunto es de la forma
A = {x : P(x) es cierto}
Donde P(x) es una proposición sobre x, formada por uno o varios enunciados (esta repentina serie de términos puede resultar un tanto confusa, así que la clarificaré expresando el anterior conjunto con dicha notación):
A = {x : x = 0 ó x es un natural menor o igual que tres}
Si el lector se ve capaz, le animo a buscar una representación eficaz del conjunto que hemos definido al principio de todo.
A partir de este momento, me dedicaré, en gran parte de lo que queda de este artículo, a definir algunos de los conjuntos (estructuras algebráicas, por otra parte) más importantes con los que se puede encontrar el alumno:
Definición. Definimos el <conjunto vacío> al conjunto que carece de elementos, que se puede expresar también, entre muchas otras formas, como
<conjunto vacío> = { x : x no es igual a x}
Nótese que la cardinalidad del conjunto es cero, pues no tiene ningún elemento.
Si el lector ha sido lo suficientemente avispado, se habrá dado cuenta de que se ha hablado muy a la ligera de un conjunto de números que no se ha definido apropiadamente, y éste es el de los números naturales, que definiremos mediante lo siguiente:
Definición. Entiéndase el sucesor de un número n como n + 1.
Y definanse los siguientes axiomas sobre los números naturales:
nota: se entiende como axioma un principio tan básico que no requiere de demostración.
Axioma. El número 1 pertenece al conjunto de números naturales.
Axioma. Todo número natural tiene un sucesor, y todo número natural, excepto el 1, es el sucesor de otro.
Axioma. Si dos números tienen el mismo sucesor, entonces éstos son iguales.
Axioma. Si el número 1 pertenece al conjunto, y dado un número cualquiera, su sucesor pertenece al conjunto, entonces todos los números naturales pertenecen al conjunto.
Defínase el conjunto de los números naturales como el conjunto más pequeño que satisface estas condiciones, llamadas axiomas de Peano. El último axioma se llama principio de inducción matemática.
Observemos que la cardinalidad de es infinita, pues se cumple la siguiente propiedad.
Teorema. Dado un número natural k, siempre existe un natural más grande que éste. De forma que el conjunto de números reales no está “acotado superiormente”, y tiene infinitos elementos.
Pasemos ahora al siguiente conjunto: el de los números enteros.
Dicho con la mayor brevedad posible, los números naturales son aquellos que, en una recta graduada, distan del orígen una distancia múltiple de la unidad por la derecha. Los números enteros son, por otra parte, todos los puntos de la recta que distan una distancia múltiple de la unidad por ambos lados. El conjunto de los números naturales es un subconjunto de los números enteros.
Definición. Un conjunto de elementos B es subconjunto de A si el primer conjunto de elementos está contenido en el segundo.
No me extenderé en gran medida con los números enteros. Lo único que cabe destacar sobre ellos es que su cardinalidad es exactamente igual que la de los números naturales.
Ésto es porque se puede encontrar una correspondencia biyectiva. Es decir, una correspondencia uno a uno entre todos los elementos del primer conjunto con todos los elementos del segundo.
Esta correspondencia se puede expresar listando los elementos de los números enteros siguiendo la secuencia
0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, ...
de forma que se pueden enumerar. Si podemos enumerar los elementos de un conjunto, entonces su cardinalidad es la misma que la de los naturales. Este infinito se llama, por cierto, infinito contable.
El siguiente conjunto que me gustaría introducir es el de los números racionales, que vienen de la palabra ratio o proporción. En estos momentos no disponemos de las herramientas que necesitamos para definirlo con rigor, así que me limitaré a decir que son todos aquellos números que se pueden expresar como una fracción. Los enteros son un subconjunto de los números racionales. Son aquellos con denominador 1. (más concretamente su clase de equivalencia, pero esta definición se escapa de los límites de este artículo).
De este conjunto cabe destacar varias propiedades:
Teorema. El conjunto Q, de los números racionales, es denso. Es decir, entre dos racionales cualesquiera existe al menos un racional más. O lo que es lo mismo, una infinidad de ellos.
Demostración. Tómese la media aritmética de estos dos números. Ésta, evidentemente, se puede expresar como una fracción, por lo que es racional.
Y aquí es donde empiezan las movidas:
Teorema. La cardinalidad del conjunto de los números racionales es la misma que la de los números naturales.
Es decir, los números racionales son a la vez densos y contables.
Demostración. Tómense los siguientes conjuntos de elementos:
- 1/1
- ½, 2/1
- ⅓, 2/2, 3/1
etcétera.
Esto son una série infinita de conjuntos finitos, por lo que podemos enumerarlos y, como ya hemos expresado antes, si podemos enumerar los elementos de un conjunto, este es numerable.
El lector bien podría verse tentado a representar los números racionales como distancias en una recta a un origen, como ya hemos hecho con anterioridad con los números enteros. Y no haría mal, pero puede caer en la siguiente trampa:
Al ser los racionales un conjunto denso, existe una infinidad de números entre dos racionales cualesquiera, por lo que la recta, a primera instancia, parecería llena. Sin embargo, esto no sería más que una ilusión óptica, pues bien es conocido que existen números, como las raíces cuadradas (o n-ésimas) que no son racionales, demostración que dejaré para un futuro artículo; o los números trascendentales, que son aquellos que solo se pueden obtener a través de una serie infinita de pasos que, evidentemente, no son racionales, pues no se pueden expresar como fracciones.
Por el teorema de Pitágoras, por ejemplo, el lector puede comprobar que la diagonal de un cuadrado de lados iguales a la unidad es una distancia que no podemos expresar en forma de fracción pero que podemos incluir en la recta que hemos mencionado antes.
Y aquí es donde deberíamos formularnos una pregunta que nos concierne desde que hemos definido el infinito contable. Y es que, ¿se llama al infinito contable por contable por algo en específico? ¿existen más infinitos?
Es posible que el lector se vea inclinado a negar la pregunta anterior por la concepción que se tiene del infinito como cosa que no tiene fin y ya está. Pues aquí vienen las rayadas, pues el infinito es mucho más que eso.
Tómese, por ejemplo, el conjunto que llamaremos el de los números reales, del que no explicaré la construcción pues se escapa del objetivo de este artículo. Solo diré que, en cierto aspecto, los racionales son un conjunto incompleto, y los reales un conjunto completo.
Ilustraré el concepto de completitud dando diferentes propiedades de los números reales, que son equivalentes, pero sin ahondar en ellas:
- Todo subconjunto acotado superiormente (inferiormente) tiene un supremo (ínfimo).
- Toda secuencia de Cauchy tiene límite real y se cumple la propiedad Arquimediana.
- Toda secuencia acotada tiene uno o varios límites de oscilación real.
Podríamos decir que los números racionales son los que podemos expresar como una fracción, mientras que los irracionales son todas las demás distancias que no podemos expresar de dicha forma. Los números reales son la unión de ambos conjuntos.
Para responder a la pregunta que nos hemos formulado antes, estudiemos la cardinalidad del conjunto de los números reales con el siguiente teorema:
Teorema. La cardinalidad de los números reales es infinita no contable. Es decir, no se les puede enumerar.
Demostración. Esta demostración se debe a Cantor, y prosigue de la siguiente manera:
Supongamos que tenemos una lista numerada de todos los números reales con su expansión decimal infinita junto con los números naturales. Pues siempre podremos crear un número que tenga la primera cifra decimal diferente de la del primer elemento de la lista, la segunda diferente de la segunda del segundo elemento de la lista, y así sucesivamente. Con esto, habremos creado un número que no está en la lista, sea cual sea ésta.
No podemos enumerar los números reales, de forma que la cardinalidad de este conjunto es mayor que la de los naturales, porque no existe una correspondencia uno a uno.
Con ésto concluimos que hay infinitos más grandes que otros, si estos se expresan como la cardinalidad de algunos conjuntos. Y los hay más grandes, pero esa demostración la dejo para el siguiente artículo.
Muchas gracias.
