Aparte de los anteriores puntos de vista una división clásica y muy básica es: Aritmética, Álgebra, Geometría y Trigonometría. Podemos decir que esos son los 4 pilares de las matemáticas básicas. (Puedes consultar los volúmenes de Baldor para cada una de las anteriores ramas)

El cálculo del determinante es en general un problema algorítmico de alta complejidad para tamaños de matrices > 6. Las respuestas anteriores ya te han dado ideas de diversas formas de como calcularlo para matrices pequeñas. El determinante sirve para saber téoricamente si una matriz es sigular, que no tiene inversa y por lo tanto el sistema de ecuaciones asociado no tendra solución. Esto sucede cuando det(A)=0 en Ax=b. Los métodos manuales que usan determinantes para resolver sistemas de ecuaciones son una simple curiosidad matemática ya que son inservibles para sistemas grandes. Para resolver este tipo de sistemas grnades de ecuaciones lineales existen diversos métodos númeriocos o algortimos que se implementan en computadora tales como, eliminación gaussiana, jacobi, gauss-seidel, etc

x= (-b±√(b²-4ac))/2a Siendo a, b y c los coeficientes de orden a: x^2, b: x, c: el término independiente

x= (-b±√(b²-4ac))/2a Siendo a, b y c los coeficientes de orden a: x^2, b: x, c: el término independiente

Si definimos cada elemento de la Matriz A como A(i,j) donde i es la fila y j la columna, entonces la matriz Traspuesta de A se define como T(i,j) =A(j,i) para cada i,j Si la matriz A es cuadrada, T será también cuadrada. Si A es rectangular, T será rectangular, pero cambiará el aspecto visual, ya que se invertirá el tamaño de los lados (número de filas vs número de columnas)