INTRODUCCIÓN
En las funciones de dos o más variables, pueden existir puntos llamados de silla o puntos de ensilladura, en los que ocurre algo que muchas veces no apreciamos, aunque se dan en la naturaleza y en objetos.
Nos centramos en funciones de dos variables z = f(x.y), cuyas representaciones son superficies en el espacio. Es fácil observar los puntos donde se alcanzan máximos y mínimos; en la naturaleza se presentan en cordilleras y valles.
Pero puede ocurrir que haya algún punto que sea a la vez Máximo y Mínimo. Es decir en una dirección se alcanza un Máximo y en otra perpendicular un Mínimo, o viceversa. Ese punto se denomina Punto de silla. Y es llamado así porque en los caballos en el lomo-dorso, donde se acopla el jinete con su silla de montar, existe ese punto. En el plano que están las piernas del jinete se describe una curva, donde se alcanza un máximo; y en el plano perpendicular longitudinal al caballo, hay un mínimo coincidente con el máximo. Y por ende también en la silla de montar.
OBTENCIÓN
Supongamos la función z = f(x,y) = x^2 - y^2
Condición necesaria
Las derivadas parciales de f(x,y) se han de anular.
f´x = 2x = 0, implica que x = 0
f´y = - 2y = 0 implica que y = 0 Por tanto tenemos un punto crítico, el (0,0)
Condición suficiente
Se hallan las derivadas segunda
f"xx = 2, f"xy = 0, f"yx = 0, f"yy = - 2
Tenemos el Hessiano H(x,y) = 2 0
0 - 2
Lo particularizamos para el punto crítico obtenido anteriormente
H(0,0) = 2 0
0 - 2 que nos sale el mismo.
H(0,0) = 2.(- 2) - 0.0 = -4 < 0
Si el hessiano, particularizado en el punto crítico, sale negativo, podemos afirmar que en ese punto hay Punto de silla, en este caso en (0,0.0)
Ejemplo. Hallar el punto de silla de la función y = f(x.y) = 3 x^3 + y^2 - 9x + 4y
Condición necesaria
f´x = 9 x^2 - 9 = 0 implica que 9 x^2 = 9 implica x^2 = 1 implica x = 1, x = - 1
f´y = 2y + 4 = 0 implica 2y = - 4 implica y = - 2
por tanto tenemos los Puntos Críticos: (1, - 2) y (- 1, - 2)
Condición suficiente
Hallamos las derivadas parciales segunda
f"xx = 18x, f"xy = 0, f"yx = 0, f"yy = 2
H(x,y) = 18x 0
0 2 Particularizamos en los puntos Críticos:
H(1, - 2) = 18 0
0 2 que al desarrollarlo nos da: !8.2 - 0.0 = 18 > 0 por tanto no es punto de silla(*)
H(- 1, - 2) = - 36 0
0 2 que al desarrollarlo queda: - 72 - 0.0 = - 72 < 0 por tanto hay Punto de silla en (- 1, - 2), que al sustituir en la función dada z = 3. (- 1)^3 + (- 2) ^2 - 9.(- 1) + 4.(- 2) = - 3 + 4 + 9 - 8 = 2. Por tanto se alcanza en (- 1, - 2, 2)
(*) Como H(1. - 2) > 0 y f"xx (1, -2) = 18 > 0 entonces hay un Mínimo local en (1, -2)
Ejemplo 2. El bazar ALOGAHER encarga al Departamento de Optimización de la Agencia que realize una investigación de un modelo matemático, de obtención de beneficios, estimando que la función viene dada por:
B = f(x, y) = 8x + 10y -(0´001)(x^2 + xy + y^2) -10000, siendo x el número de unidades del pertrecho placa de Agente, e y el número de unidades de camisetas de Agente. Se pide calcular el nivel de producción, para conseguir el máximo beneficio.
Condición necesaria
f´x = 8 - 0´001.(2x + y) = 0
f´y = 10 - 0,001.(x +2y) = 0 Resolvemos el sistema por reducción:
2x + y = 8 / 0,001 la multiplicamos por - 2 - 4x - 2y = - 16000
x + 2y = 10 / 0,001 la dejamo igual x + 2y = 10000
Sumando las dos nos queda - 3x = - 6000, de donde x = 2000, y = 4000
tenemos un Punto crítico en (2000, 4000)
Condición suficiente
Hallamos las derivadas parciales segundas:
f"xx = - 0´001. 2 = - 0´002, f"xy = - 0'001. f"yx = - 0´001, f"yy = - 0,001. 2 = 0002
H(x,y) = - 0,002 - 0´001 H(2000, 4000) = - 0,002 - 0´001
- 0´001 - 0,002 - 0´001 - 0´002
H(2000. 4000) = (- 0´002).(- 0´002) - (- 0´001).(-´0001) = 4.10^(-6) - 1.10^(- 6) > 0 y f"xx < 0
Por tanto Máximo en 2000 placas de Agente y 4000 camisetas de Agente
El Beneficio será de B(2000, 4000) = 8. 2000 + 10. 4000 - 0´001(2000^2 + 2000. 4000 + 4000^2) - 10000 = 18000, que es el máximo beneficio que se puede alcanzar.
Todos estos estudios se hacen en la asignatura de Cálculo II, en el primer año de las Facultades de Ciencias y Escuelas de Ingenieros en España.
