En el inicio de la llamada Trigonometría, tenemos que definir en un triángulo rectángulo, unos cocientes entre sus tres lados.
Son el seno, el coseno, la tangente, la cotangente, la secante y la cosecante.
Seno de un ángulo, sen a.
Es el cociente entre la medida del cateto opuesto al ángulo y la medida de la hipotenusa.
sen a = BC/AB
Coseno de un ángulo, cos a.
Es el cociente entre la medida del cateto contiguo al ángulo y la medida de la hipotenusa.
cos a = AC/AB
Tangente de un ángulo, tag a.
Es el cociente entre la medida del cateto opuesto al ángulo y la medida del cateto contiguo.
tag a = BC/AC
Cotangente de un ángulo, cotag a.
Es el cociente entre la medida del cateto contiguo al ángulo y la medida del cateto opuesto.
cotag a = AC/BC
Secante de un ángulo, sec a.
Es el cociente entre la medida de la hipotenusa y la medida del cateto contiguo al ángulo.
sec a = AB/AC
Cosecante de un ángulo, cosec a.
Es el cociente entre la medida de la hipotenusa y la medida del cateto opuesto al ángulo.
cosec a = AB/BC
Ejemplo 1 Hallar las razones trigonométricas del ángulo a, de un triángulo rectángulo, sabiendo que el cateto opuesto mide 6cm y el cateto contiguo mide 2 cm.
sen a = 6/ hipotenusa. tenemos que calcular la hipotenusa, aplicando el Teorema de Pitágoras: hipotenusa = raiz (6^2 + 2^2) = raiz (36 + 4) = raiz 40.
Por tanto sen a = 6 / raiz 40
cos a = 2 / raiz 40
tag a = 6/2 = 3
cotag a = 2/6 = 1/3
sec a = raiz 40 / 2
cosec a = raiz 40 / 6
Relaciones entre las razones trigonométricas
Si nos fijamos en las anteriores definiciones, observamos:
tag a = sen a / cos a
cotag a = cos a / sen a
sec a = 1 / cos a
cosec a = 1 / sen a
cotag a = 1/ tag a
Relación fundamental de la trigonometría
En cualquier triángulo rectángulo se verifica que (sen a)^2 + (cos a)^2 = 1
Ejemplo 2 Comprobémoslo en el triángulo anterior.
(6 / raiz 40)^2 + (2 / raiz 40)^2 = 36 / 40 + 4 / 40 = 40 / 40 = 1
Relación entre el seno y el coseno
Sabemos que (sen a)^2 + (cos a)^2 = 1. Si despejamos (sen a)^2 = 1 - (cos a)^2, entonces nos queda sen a = raiz ((1 -( cos a)^2)
y en la misma forma cos a = raiz ((1 - (sen a)^2)
Ejemplo 3. Si sen a = 0´4 (0º < a < 90º), hallar el cos a.
cos a = raiz (1 - 0´4^2) = raiz 0´84
Ejemplo 4. Si cos a = 2/3 (0º < a < 90º), hallar las restantes razones trigonomátricas, dando los resultados simplificados y racionalizados.
sec a = 3/2 = 1´5
sen a = raiz (1 - (2/3)^2) = raiz (1 - 4/9) = raiz ( 5/9) = (raiz 5) / 3
cosec a = 3 / raiz 5 = (3 raiz 5) / 5
tag a = ((raiz 5) / 3 ) / (2/3)) = (raiz 5) / 2
cotag a = 2 / raiz 5 = (2 raiz 5) / 5.