Spesso e volentieri durante le lezioni di matematica ci si ritrova a fare i conti con lo studio di una funzione, che ci permette in realtà di ottenere tutte le informazioni necessarie per disegnare un grafico molto completo.
Ma partendo dalle basi è necessario capire e interiorizzare lo scopo di una funzione e il suo significato.Più nel dettaglio possiamo definire una funzione come una legge matematica che associa a ogni valore di una variabile, definita X o variabile indipendente, un unico valore della variabile Y o variabile dipendente.
A questo punto che cosa significa tracciare il grafico di una funzione e che informazioni ci rappresenta?
Il grafico permette di raffigurare tutti quei punti, dotati di coordinate (x,y), che se sostituiti all'interno della funzione rendono vera l'uguaglianza. Spesso però, per arrivare al grafico è necessario analizzare alcuni punti cruciali, partendo proprio dalla nostra uguaglianza.
Vediamo di seguito i procedimenti da seguire:
1. Definire il dominio e il codominio della funzione.
Il dominio è l'insieme di tutti quei valori che la x può assumere nell'insieme dei numeri reali R, mentre il codominio è l'insieme di tutti i corrispondenti valori della y. Quindi definire il dominio di una funzione vale a dire calcolare le condizioni di esistenza, ovvero definire dove la funzione è definita e dove non lo è.
In particolare ci sono 4 elementi da tenere presenti per il calcolo del dominio:
- La presenza di un denominatore, i quali vanno posti diversi da zero.
- Le radici di indice pari, i cui argomenti, ovvero tutto ciò che sta sotto la radice, vanno posti maggiori e uguali a zero.
- I logaritmi, i cui argomenti vanno posti maggiori di zero.
- Una funzione elevata a un altra funzione, per cui la funzione che sta alla base andrà posta maggiore di zero.
2. Determinare la parità o disparità della funzione.
Per cui è pari se:
f(-x)=f(x)
O è dispari se:
f(-x)=-f(x)
3. Individuare i punti di intersezione con asse X e Y.
In particolare basterà attribuire alla x il valore 0 e calcolare il corrispondente valore di y.
4. Definire i limiti del dominio.
Ovvero stabilire quando e dove si è infinitamente vicini al punto o ai punti in cui questa non è definita, quindi rispettivamente ai valori trovati con il calcolo del dominio.
Lo studio dei limiti ci permette di capire anche la continuità di una funzione.
5. Valutare massimi, minimi, punti di flesso
Per calcolare i massimi e minimi è necessario utilizzare la derivata prima della funzione.
6. Studio dei punti singolari
Ovvero di:
- cuspidi
- angolarità
- flessi verticali etc..
7. Tracciare il grafico
Con tutte le informazioni fin'ora acquisite.
