¿Cómo calcular la inversa de una matriz?

Una matriz inversa de A es aquella matriz que multiplicada por A resulta la matriz identidad I. Para calcularla puede emplearse el método de Gauss - Jordan pero yo aconsejo utilizar la expresión (adj A)^t/ (det A). Esto es obtener la matriz adjunta de A, hacer su traspuesta, y dividirla por el determinante de A. Y para que exista está matriz inversa, la matriz debe ser cuadrada y su determinante no nulo.

Hola!!! Pues es muy sencillo, primero tienes que comprobar que la matriz sea cuadrada, es decir, que todas sus filas sean independientes, lo que significa que el rango de la matriz es igual al número de filas y al de columnas. Una vez has comprobado que es cuadrada y que se puede calcular su inversa, calculas la traspuesta, que es poner las filas como columnas y viceversa ( La primera fila será la primerra columna, la segunda la segunda columna, etc...) Ahora tienes que calcular los adjuntos de la traspuesta, que por aquí se me hace un poco complicado enseñártelo, pero mira, suponiendo que es una matriz 3x3, el adjunto del elemento 1,1 de la matriz, será el resultado del determinante de la matriz resultado de tachar la primera fila y la primera columna, y así co n todas (el adjunto del elemento 2,3 , por ejemplo, sería el resultado del determinante de tachar la egunda fila, y tercera columa.) Si es una matriz 2x2 realizas el mismo procedimiento de tachar filar y columnas, pero como sólo te quedaría un elemento no es necesario que hagas ningún determinante, como es lógico. Ahora, una vez tienes la matriz adjunta , la divides por el deterinante de la matriz inicial, y al resultado le cambias los signos, multiplicando los elementos impares por +1, y los pares por -1. Y ya estaría!!! Parece complicado, pero de veras que no lo es, sólo hace falta un poco de práctica!!! Prueba a resolver un ejercicio mientras lees estos pasos, a ver si así puedes hacerlo!!

La matriz debe ser cuadrada Imagínate una tal que 2 3 4 2 Para hacer la inversa vamos a crear un vector que multiplique a dicha matriz a b c d Y lo igualamos a su matriz identidad 1 0 0 1 Multiplicas la matriz por el vector de letras y lo igualas a la matriz identidad. Te saldrá la matriz inversa

Existen dos métodos: El primero, llamado reducción de Gauss, es un método muy intuitivo pero que requiere práctica. El proceso es delicado y requiere atención al detalle. Es un poco mas largo. El segundo es más directo, pero la explicación de por qué funciona realmente es muy compleja. Sencillamente se realizan dos operaciones sobre la matriz, llamadas "cálculo de adjunta" y "transposición". El orden es irrelevante. Posteriormente, se divide entre el determinante de la matriz, y el resultado es la inversa. El segundo método es más rapido, pero menos intuitivo. Además, requiere el calculo de muchos determinantes. Sin embargo, es una fórmula interesante porque nos enseña que hay una manera rápida de saber si podremos siquiera calcular la inversa: como la adjunta y la transpuesta se pueden hacer siempre, sólo tenemos que mirar si el determinante de la matriz es distinto que cero: si fuera igual, la división no se podría hacer!

Tal como explique en la pregunta del determinante, los métodos que usan el determinante para el cálculo de la inversa, solo son practicos para matrices de orden pequeño , digamos 2, 3 y 4. En general y para programar en computadora es mejor aplicar la eliminación gaussiana a la matriz A y simultáneamente a la matriz Identidad del mismo orden. Al finalizar el proceso, cuando convirtamos a la matriz A en la Identidad, mediante las operaciones elementales de filas, obtendremos en la matriz identidad asociada, la inversa de A tal que A*A^-1 = I