¿Cuáles son las características necesarias para que una relación entre dos variables sea función?, ¿Y para qué sea función lineal?

Para que la relación entre dos variables sea una función, debe existir una expresión matemática que las relacione. Esta expresión puede ser tanto un polinomio, como un logaritmo, como una ponencia... etc. La única condición es que ambas estén relacionadas mediante dicha expresión, por ejemplo:y = ln(x), y=x^2 o incluso y=xDentro de las funciones, se distinguen las funciones lineales, las cuales tienen una forma como la siguiente:y= a·x bSiendo a y b números reales. (Nótese que para que la función sea lineal, a debe ser siempre distinto de 0, mientras que b puede ser 0 o distinto de 0).

Para que una relación sea una función no tiene por qué existir una expresión matemática algebraica que las relacione. Además, hay expresiones algebraicas que relacionan variables pero no son una función, como por ejemplo x^2 + y^2 = 1. La condición para que una relación sea una función es que a cada valor de una de las variables, llamada "independiente", se le asigne un único valor de la otra variable, llamada "dependiente".

Que el valor de una dependa de la otra. Que el valor de una sea proporcional al de la otra más una constante (que puede ser 0).

Supongamos que queremos relacionar dos conjuntos totalmente diferentes(pueden ser el mismo), la mejor manera de hacerlo es con una función. Pero para poder ser una función tiene que cumplir un requisito, ser biyectiva. Una función es biyectiva cuando es Inyectiva y Sobreyectiva. Una función es inyectiva si por ejemplo para f:A----->B una aplicación que va de A a B se cumple que: Para cualesquiera x1 y x2 elementos de A con la característica de que x1 != x2 (x1 distinto de x2) entonces f(x1) != f(x2). En resumen una función es inyectiva si cada elemento tiene solo una imagen en B(elementos distintos tienen imágenes distintas). Ejemplo de función inyectiva: Sea A el conjunto que contiene el número de lados de un polígono (3,4,5) y sea B el conjunto que contiene nombres de polígonos(Triángulo, Cuadrado, Pentágono) y F: A-----> B aplicación. Vemos que F(3) = Triángulo, F(4) = cuadrado y F(5) = pentágono. Cada elemento distinto de A tiene una y solo una imagen!!!. Este ejemplo sería una aplicación inyectiva. Este otro ejemplo no. Ahora A = R(números reales) y B = R(números reales) y f: A---->B tal que x-----> x^2, f es la función cuadrática y = x^2(Parábola con vértice en (0,0).(f es la función que al elemento de A lo convierte en su cuadrado, x----> f(x) = x^2 En este caso por ejemplo x1 = 1 y x2 = -1, x1 != x2(son distintos) pero f(x1) = 1^2 = 1 y f(x2) = (-1)^2 = 1 !!! Ocurre que 1 y -1 son elementos distintos que tienen la misma imagen, por tanto f no puede ser Inyectiva. Para ser sobreyectiva necesitamos que para todo elemento "y" de B exista al menos un elemento "x" de A que cumpla que y = f(x). Vamos al primer ejemplo de A={3,4,5} y B={Triángulo, Cuadrado, Pentágono} es sobreyectiva pues para F: A----->B aplicación se cumple que para todo elemento de B existe un elemento de A tal que F(x) = y; {f(3) = Triángulo, f(4) = Cuadrado, f(5) = Pentágono}. Este ejemplo siguiente no es sobreyectivo, ejemplo: A={3,4,5} B={Triángulo, Hexágono, Pentágono, Cuadrado}, vemos que existe un elemento de B "Hexágono" tal que no existe un elemento de A que nos lleve a él mediante F. No existe x de A F tal f(x) = Hexágono. Una vez verificamos una aplicación es Inyectiva y Sobreyectiva podemos afirmar que es una función, de lo contrario será una aplicación. Ha de cumplir ambos requisitos: inyectividad y sobreyectividad. Para comprobar si es lineal tiene que verificar que: Para todo a,b escalares y para cualesquiera elementos x,y de A siendo f: A---->B función se cumple que f(a*x + b*y) = a*f(x) + b*f(y). Datos: * = Multiplicación; ^2 = Potencia cuadrada Perdón por el rollo. Creo que hay maneras más simples de explicarlo pero se hace difícil a veces. Espero haberte ayudado. Un saludo.

La forma mas sencilla de explicarlo sería decir que una función es una relación entre dos variables (dependiente e independiente) en la cual para cada valor de la variable independiente solo existe un único valor de la variable dependiente, es decir, que para cada valor que toma la variable "x", solo habrá un único valor de la variable "y" , cada valor de x tendrá solo una imagen. Por ejemplo: la ecuación de una elipse, de una hipérbola, de una circunferencia no son funciones, sino relaciones. Una función polinómica, raciona, irracional, logarítmica, exponencial, trigonométrica, valor absoluto, etc. Si lo serán.

Hola Aniel: Una relación entre 2 variables es una función si existe una expresión matemática que relaciona a estas variables (por ejemplo x como variable independiente e y como variable dependiente), de tal modo que para cada valor de x existe un único valor de y. Hay muchos tipos de funciones (Ejemplos: y=3x+7; y=logx; y=senx, etc...). Para que la función sea lineal la expresión matemática tiene que ser del tipo y=a·x+b (donde a es un número distinto de 0 y b puede ser 0 o distinto de 0). La representación gráfica de una función lineal origina siempre una línea recta. De los ejemplos de funciones anteriores es una función lineal y=3x+7. Saludos.