Un ingeniero que labora en el departamento de control de calidad de una empresa eléctrica, inspecciona una muestra al azar de 20 alternadores de un lote, si el 10% de los alternadores del lote están defectuosos. Cuál es la probabilidad de que, en la muestra, a) ninguno esté defectuoso b) uno salga defectuoso c) a lo más dos salgan defectuosos d) más de tres estén con defectos.

Es una distribución binomial. a) buscando en la tabla de la distribucion binomial para p=0,10, n=20 y k=0 obtenemos la probabilidad p(k=0)=0,1216 b) buscando en la tabla de la distribucion binomial para p=0,10, n=20 y k=1 obtenemos la probabilidad p(k=1)=0,2702 c) Para mas de tres vamos a calcular los valores hasta 3 (incluido) y despues calculamos el complemento hasta 1. La probabilidad de k=0 y de k=1 ya las hemos calculado, solamente nos faltan para 2 y para 3. buscando en la tabla de la distribucion binomial para p=0,10, n=20 y k=2 obtenemos la probabilidad p(k=2)=0,2852 y para p=0,10, n=20 y k=3 obtenemos la probabilidad p(k=3)=0,1901. Sumando las cuatro probabilidades: P(k=0)+P(1)+P(2)+P(3)=0,1216+0,2702+0,2852+0,1901=0,8671 Lo contrario, es decir la probabilidad de que sea mayor que 3 sera: 1-0,8671=0,1329 Se podria hacer a mano pero no puedo reproducir las formulas aqui. Tambien puede hacerse con Excel, SPSS, R, etc. es mas rapido pero no se puede reproducir aqui. Saludos y suerte Arturo

Para resolver este problema, utilizaremos la distribución binomial, ya que estamos seleccionando una muestra al azar de una población con una proporción conocida de defectuosos. Dado que el 10% de los alternadores del lote están defectuosos, podemos considerar que la probabilidad de que un alternador seleccionado al azar sea defectuoso es de 0.10. Luego, la probabilidad de que un alternador seleccionado al azar no sea defectuoso es de 1 - 0.10 = 0.90. a) Probabilidad de que ninguno esté defectuoso: Para que ninguno de los 20 alternadores seleccionados al azar esté defectuoso, debemos multiplicar la probabilidad de que cada uno de ellos no esté defectuoso. Como se trata de una muestra al azar, asumimos independencia entre las selecciones. Por lo tanto, la probabilidad de que ninguno esté defectuoso es: P(a) = (0.90)^20 ≈ 0.1216 b) Probabilidad de que uno salga defectuoso: La probabilidad de que exactamente un alternador seleccionado al azar esté defectuoso se puede calcular utilizando la fórmula de la distribución binomial: P(b) = (20 C 1) * (0.10)^1 * (0.90)^(20-1) Donde (20 C 1) es el coeficiente binomial "20 elegir 1", que se calcula como: (20 C 1) = 20! / (1! * (20-1)!) = 20 P(b) = 20 * (0.10)^1 * (0.90)^19 ≈ 0.2702 c) Probabilidad de que a lo más dos salgan defectuosos: Para calcular esta probabilidad, debemos sumar las probabilidades de que ninguno, uno o dos alternadores estén defectuosos: P(c) = P(a) + P(b) + (20 C 2) * (0.10)^2 * (0.90)^(20-2) Donde (20 C 2) es el coeficiente binomial "20 elegir 2", que se calcula como: (20 C 2) = 20! / (2! * (20-2)!) = (20 * 19) / (2 * 1) = 190 P(c) = 0.1216 + 0.2702 + 190 * (0.10)^2 * (0.90)^18 ≈ 0.7367 d) Probabilidad de que más de tres estén con defectos: Para calcular esta probabilidad, debemos sumar las probabilidades de que tres, cuatro, cinco,..., veinte alternadores estén defectuosos: P(d) = 1 - (P(a) + P(b) + P(c)) P(d) ≈ 1 - (0.1216 + 0.2702 + 0.7367) ≈ 0.8715 Por lo tanto: a) La probabilidad de que ninguno esté defectuoso es aproximadamente 0.1216. b) La probabilidad de que uno salga defectuoso es aproximadamente 0.2702. c) La probabilidad de que a lo más dos salgan defectuosos es aproximadamente 0.7367. d) La probabilidad de que más de tres estén con defectos es aproximadamente 0.8715.