Una aplicación motivadora de los sistemas lineales 2-2: Control aéreo

   En anterior artículo, presenté la resolución de los sistemas lineales de dos ecuaciones con dos incógnitas (2-2), y su clasificación.

  Ahora vamos a estudiar un ejemplo de sus numerosas aplicaciones. Se trata de controlar las diferentes trayectorias de seis aviones, en un mismo plano, para predecir la posibilidad de choque y avisar de la necesidad de cambio de rumbo.

   Tenemos las trayectorias de seis aviones dadas por las siguientes rectas en un plano:

    (1)  x - y + 2 = 0

    (2)  y - 3 = 0

    (3)  x - y - 2 = 0

    (4)  2x - 3y - 3 = 0

    (5)  x - y + 4 = 0

    (6)  2x - 3y - 15 = 0

  Se trata que desde nuestra pantalla de controlador aéreo, detectemos los posibles choques que pueden ocurrir entre los seis aviones, para avisar rápidamente del desvío de sus trayectorias.

   Para tener una visión general de esa posibles "intercepciones", representamos todas las rectas, hallando tan sólo dos puntos de cada una. Veámoslo:

   Recta (1)     x - y + 2 = 0    Si  x = 0     implica que  y = 2      Punto    (0, 2)

                                             Si  x = - 2    implica que  y = 0      Punto  (- 2, 0)

  Con esos dos pùntos representamos la recta (1)

   Recta  (2)     y - 3 = 0        Si  x = 0     implica que   y = 3      Punto   (0, 3)

                                             Si  x = 1   implica que     y = 3      Punto  (1, 3)  

   La representamos en los mismos ejes de coordenadas.

   Rercta  (3)    x - y - 2 = 0     Si  x = 0   implica que  y = - 2     Punto  (0,- 2)

                                               Si  y = 0   implica que   x = 2       Punto   (2, 0)

   La representamos también en eso mismo ejes coordenados.

   Recta  (4)    2x - 3y -3 = 0    Si  x = 0   implica que  y = - 1     Punto  (0,- 1)

                                                Si  y = 1   implica que  x = 3        Punto  (3, 1)

    La representamos siempre en los mismos ejes. 

   Recta  (5)    x - y + 4 = 0     Si  x = 0  implica que  y = 4          Punto   (0, 4)

                                               Si  y = 0  implica que  x = - 4        Punto  (- 4, 0)

    Y la representamos.

    Recta  (6)    2x - 3y -15 = 0    Si  x = 0   implica que  y = - 5    Punto  (0, - 5)

                                                   Si  x = 3   implica que  y = - 3    Punto ( 3, - 3)

   La representamos. Y así tenemos una visión general de todas las trayectorias de los 6 aviones.

   Los puntos conflictivos son:

   Primer cuadrante : Tenemos cinco puntos de intersección          

                                    A   Rectas  (2)  y  (6)

                                    B   Rectas  (2)  y  (4)

                                    C   Rectas  (2)  y  (3)

                                    D   Rectas  (2)  y  (1)

                                    E   Rectas   (3)  y  (4)

   Segundo cuadrante:   Sólo un punto de intersección.

                                    F  Rectas  (2)  y  (5)

   Tercer cuadrante: Hay cinco puntos de intersección.

                                    G  Rectas  (1)  y  (4)

                                    H  Rectas  (4)  y  (5)

                                    I  Rectas   (3)  y  (6)

                                    J  Rectas  (1)  y  (6)

                                    K  Rectas  (5)  y  (6)

   Cuarto cuadrante: No hay ningún punto de intersección.

  En total tenemos 11 puntos donde las trayectorias de los aviones interceptan. Nos hacemos cargo del estress que sufren los controladores aéreos.

   Cálculo de los puntos de intersección de las trayectorias

   PRIMER CUADRANTE

   Punto A  Intersección de las rectas (2)  y - 3 = 0    y   (6)  2x - 3y -15 = 0 

   Por sustitución, despejamos  y en (2)   y = 3, y siustituimos en (6), y nos queda

   2x - 3.3 - 15 =  0   implica  2x = 24   implica  x = 12. Por tanto  A (12, 3)

   Punto B  Intersección de las rectas  (2)  y - 3 = 0   y  (4)   2x - 3y - 3 =0

   Por sustitución, despejamos  y  en la  (2), nos queda  y = 3 y lo sustituimos en la (4)

   2x - 3.3 - 3 = 0   implica  2x = 12   implica  x = 6   Punto B( 6, 3)

   Punto C  Intersección de la recta  (2)  y - 3 = 0  y  la recta (3)  x - y - 2 = 0

   Por sustitución, despejamos la y en la (2)  y - 3 = 0 implica y = 3, y siustituimos en la (3)

   x - 3 - 2 = 0   implica   x = 5   Punto C(5, 3)

   Punto D  intersección de la recta (2)  y - 3 = 0  y  la recta  (1)  x - y + 2 = 0

   De nuevo por sustitución, despejamos  y  en la  (2), nos sale y = 3, y lo sustituimos en la recta  (1)  x - 3 + 2 = 0   implica   x = 1   Punto D(1, 3)

   Punto E  Intersección de la recta  (3)   x - y -2 = 0  y la recta  (4)  2x  - 3y - 3 = 0

  Por reducción; multiplicamos la  (3) por  -2,  nos queda                -2x + 2y + 4 = 0 y sumamos las dos ecuaciones, obteniendo   - y + 1 = 0, de donde  y = 1, y sustituyendo en la (3), obtenemos  x = 3  Punto  E(3, 1)

   SEGUNDO CUADRANTE

   Punto F  intersección de la recta  (2)   y - 3 = 0   con la recta  (5)  x - y + 4 = 0

   Por sustitución, despejamos  y  en la  (2) y sustituimos en la (5) y nos queda x - 3 + 4 = 0, es decir  x = -1  Punto F(- 1, 3)

   TERCER CUADRANTE

   Punto G   intersección de la recta (1)  x - y + 2 = 0  con la recta ( 4)  2x -3y - 3 = 0

   Por reducción; multiplicamos la  (1)  por  - 2,  nos queda                  -2x + 2y - 4 = 0, y la sumamos con la  (4), obteniendo - y - 7 = 0, es decir  y = - 7. Lo sustituímos en la (1), obteniendo  x + 7 + 2 = 0  implica que x = - 9  Punto G(- 9, - 7)

   Punto H   Intersección de la recta (4)   2x -3y - 3 = 0  con la recta  (5)  x - y + 4 = 0

   Por reducción; multiplicamos la (5) por  - 2, obteniendo  - 2x + 2y - 8 = 0,y la sumamos con la (4), obteniendo  - y - 11 = 0  implica  y = - 11. Lo sustituimos en la (5) quedando x + 11 + 4 = 0, de donde  x = - 15   Punto  H(- 15. -11)

   Punto I   Intersección de la rercta (3)  x - y - 2 = 0  con la recta  (6)  2x - 3y - 15 = 0

   Por reducción: multiplicamos la (3) por -2 y la sumamos a la (6), y nos queda  - y - 11 = 0, de donde  y = -11, que susttituimos en la  (3), quedándonos  x + 11 - 2 = 0, es decir  x = - 9, por tanto  Punto  I(- 9, -11)

   Punto J  Intesección de la recta  (1)  x - y + 2 = 0  con la recta (6)  2x - 3y - 15 = 0

   Por reducción. multiplicamos la (1) por  - 2 y la sumamos con la (6),  - y - 19 = 0, es decir y =   =-19. lo sustituimos en la  (1) y obtenemos  x + 19 + 2 = 0, de donde  x = - 21  J(- 21, - 19)

   Punto K  Intersección de ña recta  (5)  x - y + 4 = 0  con la recta  (6)  2x - 3y - 15 = 0

   Por reducción. multiplicamos por  - 2 la (5) y la sumamos con la (6)  - y - 23 = 0, de donde          y = - 23. Sutituimos en la (5) y nos queda  x + 23 + 4 = 0,  es decir  x = - 27   K( - 27, - 23) 

   CUARTO CUADRANTE

   No hay ninguna intersección de rectas.

   Por tanto los 11 puntos donde se pueden producir el choque de aviones son:

   A(12,3)  B(6,3)  C(5,3)  D(1,3)  E(3,1)  F(- 1,3)  G(- 9,-7)  H(-15, -11)  I(-9, -11)  J(-21, -19)

   K(-27 , -23)

   Vemos la peligrosidad de las trayectorias o rutas de los aviones en un mismo plano. De ahí que las rutas se establecen en diferentes niveles, en planos paralelos, donde los aviones se cruzan. Para ello tendremos que hacer el estudio de la recta y el plano en tres dimensiones.