Concepto de derivada de una función y su aplicabilidad

José Manuel

Publicado por José Manuel

A nivel de enseñanza de las matemáticas, uno de los conceptos más controvertidos es el de la derivada. Muchos alumnos la usan en ejercicios (correctamente además), pero no acaban de entender el motivo por el cual aplican lo que hacen.

En cuanto al bachillerato, la derivada es quizá el tema estrella. Y al final, ser capaz de entender lo que implica hacer una derivada, igualar a cero o estudiar el signo de la segunda derivada, es la clave del éxito. Y no sólo para pasar bachillerato, sino también para superar la selectividad.

 

Pasemos pues, a empezar a entenderlo todo. ¿Qué es la derivada? Su definición textual dice que "la derivada de una función matemática es la razón de cambio instantánea con la que varía el valor de dicha función matemática, según se modifique el valor de su variable independiente". Pero, ¿de verdad sirve de algo memorizar esto? La respuesta es no, ya que la clave consiste en entenderlo. Así pues, vamos a entender lo que la definición nos quiere decir, y a expresarlo de una forma mucho más didáctica. Así, la derivada de una función en un punto es la pendiente que tiene la recta tangente a dicha función en dicho punto.

 

Veamos qué ocurre en la práctica. Por un lado, está claro que si la pendiente de una recta es positiva es porque está creciendo; si es negativa está decreciendo; y si es nula es una recta horizontal. Y por el otro, si la recta tangente a la función en un punto tiene pendiente positiva es porque la función está creciendo en ese punto; y si tiene pendiente negativa es porque la función está decreciendo en ese punto. Pero, ¿qué ocurre cuando la recta tangente en un punto es horizontal? Lo que pasa es que la función en ese punto no está ni creciendo ni decreciendo. Es decir, la función tiene un extremo relativo en ese punto. Por tanto, si la función tiene extremos relativos en los puntos en los que la recta tangente es horizontal (pendiente nula), y una recta tangente a una función en un punto es horizontal cuando la derivada es nula, llegamos a la esencia del concepto de derivada: la derivada de una función es nula en aquellos puntos en que la función tiene extremos relativos. Esta es la razón por la cual los extremos relativos de una función se encuentran haciendo la derivada de la función e igualándola a cero.

 

Aparte de esto, después se deben estudiar otros aspectos, tales como el comportamiento de una función (en qué intervalos crece y en cuales decrece) o la caracterización de los extremos relativos (mínimo relativo, máximo relativo o punto de inflexión). Aún y así, todo recae sobre lo explicado anteriormente, y lo único que falta es zanjarlo todo entendiendo también aspectos como los comentados.

 

Quiero concluir explicando rápidamente mi experiencia personal con este tema. Llevo casi 4 años impartiendo matemáticas a nivel de bachillerato, y preparando a decenas de alumnos para las pruebas de la selectividad. Y la clave de su éxito ha pasado siempre por hacerles entender el concepto de derivada. Recalco, ENTENDER, no sólo hacer que hagan bien los ejercicios. Con esto, han conseguido ser capaces de pensar por ellos mismo, y poder resolver sus exámenes con solidez y seguridad.

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