Aritmética: La suma generalizada (suma y resta) de los números enteros

Si consideramos a los números enteros positivos, es decir, los que podemos contar como los pisos que subimos en un elevador: 1, 2, 3, y así sucesivamente y a sus números opuestos, es decir, los mismos números pero con signo negativo que podrían representar los números que bajamos en un elevador como -1, -2, -3 y así sucesivamente, además del 0 que estaría justo en medio, o bien, justo en el piso que da a la calle, entonces podemos sumarlos con una operación que se conoce como “suma generalizada”.

La suma generalizada involucra dos o más números enteros que se suman considerando sus posiciones en un sistema de referencia. Si partimos del piso cero y subimos 3 pisos pero luego bajamos 4 y volvemos a subir 10 pisos para finalmente bajar 1 piso, quizá porque nos dejamos llevar por la gente que ingresa y escoge hacia donde se dirige el elevador, ¿en qué piso nos quedamos? En aritmética, esta operación se indicaría de la siguiente manera:

(0) + (+3) + (–4) + (+10) + (-1) = 8

El resultado, igual a 8, correspondería al piso en el que nos quedamos. Los paréntesis se usan para que los signos que indican la suma: + (más), no se confundan con los signos de los números: + (positivo) y – (negativo). Imaginemos la situación. Partimos del piso cero y subimos 3 pisos, llegamos entonces al 3er piso, después bajamos 4 pisos, es decir, los pisos que habíamos subido y uno más, por lo que quedamos en el piso -1, o sea, un piso por debajo del que da a la calle. Después subimos 10 pisos, uno que nos lleva al cero y otros nueve, por lo que estamos en el piso 9 pero finalmente bajamos 1 piso, es decir, nos quedamos en el 8.

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Razonando de esta manera, se puede entender lo que significa sumar 0 más +3 más -4 más +10 más -1, es decir, sumar los números 0, +3, -4, +10 y -1. En la práctica, sin embargo, conviene agrupar los números positivos por un lado y los negativos por el otro para quedarnos con una suma generalizada de dos números al final. En este caso, los números positivos son +3 y +10, sumándolos obtenemos 13. Por otro lado, los números negativos son -4 y -1, si los sumamos sin fijarnos en su signo, obtenemos 5 y recordando agregar el signo, el resultado correcto es -5. En nuestro ejemplo, habría que sumar además el cero, pero eso no cambia ningún resultado pues todo lo que se suma con cero, da el mismo número, por lo que el resultado final lo obtendríamos de la suma:

13 + (-5)

Si imaginamos el ejemplo del elevador y subimos 13 pisos y bajamos 5, es claro que el piso donde terminamos es el 8. Para aplicar la suma generalizada a números más grandes, podemos usar los algoritmos de la suma y de la resta para números naturales, según corresponda, con la regla de que para eliminar paréntesis (o sea, no escribirlos), para números negativos hay que anteponer el signo menos y para números positivos o el cero (si no están al principio de la operación), hay que anteponer el signo más, con la idea de que ambos signos representarán operaciones y ya no los signos de los números. Si el número positivo está al principio de la operación, se puede o no poner el signo más y si es un número negativo el que está al principio de la operación, siempre hay que dejarle el signo que corresponderá al signo del número.

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En nuestro ejemplo, esto es:

(0) + (+3) + (–4) + (+10) + (-1) = 0 + 3 – 4 + 10 - 1

Para realizar las sumas y restas de la operación, podemos agrupar los números que se suman al principio y después los que se restan. Algo así:

0 + 3 + 10 – 4 – 1

Los tres primeros números se suman y su resultado es 13. Los siguientes números se restan y la resta – 4 – 1 representa una resta total de –5. Así pues, la operación final es:

13 – 5 = 8

Si la operación final hubiera quedado como 5 – 13 (subir 5 pisos y bajar 13), es claro que el resultado final es negativo. Para obtenerlo, basta con restar al número sin signo más grande el número sin signo más chico, es decir, 13 – 5 = 8 sólo recordando que el resultado final es negativo, lo cual se escribe como:

-13 + 5 = -8

Estas dos operaciones, 13 – 5 = 8 y -13 + 5 = -8 nos dan más idea de lo que se llama “suma generalizada” pues en realidad siempre sumamos sólo que en ambos casos consideramos el sentido en el que nos movemos contando números. En un elevador, los números positivos van a la hacia arriba y los números negativos hacia abajo. Si usáramos otra referencia, digamos “lo que se avanza” y “lo que se retrocede” podríamos decir que los números positivos indican avance y los negativos indican retroceso. O bien, digamos que hablamos de derecha e izquierda, y en ese caso tendríamos que los números positivos van a la derecha y los negativos a la izquierda.

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