INTRODUCCIÓN
En todas las Facultades de Ciencias en España, se estudian las asignaturas de Álgebra Lineal y Cálculo Infinitesimal, en 1º de carrera. Me refiero a los estudios universitarios de Matemáticas, Físicas, Químicas, Biología Geología, Farmacia, Economía, Ingenierías, Arquitectura y nuevas carreras que han surgido últimamente como Ciencias de la Tierra, Mar, Salud, ADE, etc.
ÁLGEBRA
En España, el álgebra que se estudia es Álgebra Lineal, no el álgebra visto durante la ESO y Bachillerato. Se comienza con los Espacios Vectoriales, para introducirse en los Subespacios, Aplicaciones Lineales, Diagonalización de Matrices, Autovectores, Autovalores y Formas Cuadráticas.
Analicemos exámenes finales propuestos en universidades españolas y otras del exterior, y en 1º de Carrera, para hacernos una idea clara, de los contenidos que se dan y los niveles de exigencia que se proponen.
Un examen final puesto en la Universidad pública Rey Juan Carlos de Madrid, en 1º de ADE:
1) Dados los vectores V1 = (2, 0, 1, 3) V2 = (1, 2, 2, 0) V3 = (0, -4, x, y), se pide:
a) Determinar x e y para que V3 pertenezca al subespacio que generan V1 y V2.
b) Encontrar las ecuaciones cartesianas de subespacio que generan V1 y V2.
2) Dado el endomorfismo de matriz asociada
2 0 0
A = 3 1 2
0 0 2
Se pide: a) Diagonalizar, si es posible dicha matriz. b) En caso de que lo fuera, dar una expresión de A^15.
3) Dada la forma cuadrática Q(x1, x2, x3) = 2 x1^2 +2 x2^2 + x3^2 + 4 x1x2, se pide:
a) Expresión analítica.
b) Diagonalizar la forma cuadrática. Forma canónica y clasificación.
c) Matriz del cambio de base.
Un examen final de College Algebra en St Louis University, 1º de Bussines:
1) Factorizar 18 x^4 - 8 x^2. y^2
2) Determinar el conjunto solución de Ix -2I > 2, sobre la recta real.
3) Resolver la inecuación Raiz (x + 4) + 2 = x
4) Resolver la desigualdad (x + 2) / (x - 5) < 0
5) Determinar el valor de (3 -i) / (3 + i). Dar el resultado en la forma a + bi
6) Una inversión de $5000 gana interés al 8% anual, compuesto mensualmente. determinar su valor al cabo de 10 años.
7) Determinar el (los) valores de x que satisface la siguiente ecuación logarítmica:
log (x - 6) + log (x + 6) = 2, (los logaritmos en base 8)
8) El esqueleto de un animal contiene la tercera parte de la cantidad original de carbono 14. Si la vida media de este es de 5750 años, calcular la edad del esqueleto.
9) Usando matrices (y sólo usando matrices), resolver el siguiente sistema de ecuaciones:
2x + 3y - 4z = - 2
- 4x - 3y + z = 8
3x - 5y + 6z = 7
10) Minimizar la cantidad m = 4x + 5y en la región definida por las siguientes restricciones:
- x + 2y <= 2
3x + 2y <= 10
x + 6y >= 6
3x + 2y >= 0
Un examen final puesto en la Universidad Nacional de Irlanda, Galway en 1º Ciencias Físicas:
1) a) Sean la matrices A y B dadas, hallar A.B e inversa de A.
A = 2 1 B = 2 - 3
4 - 3 5 - 2
b) Sea T: R2----R2 una transformación lineal definida por T(x, y) = (2x + y, 4x - 3y)
i) Encontrar la matriz de la transformación T^(-1) y T^(-1) (x,y).
ii) Hallar la recta en la cual la imagen de T es la recta x + 2y = 10.
c) Sea la matriz A = 4 5
2 1
i) Hallar los autovalores de A.
ii) Hallar un autovector de A correspondiente a cada autovalor.
iii) Hallar una matriz diagonal D y una invertible E, tal que A = E D E^(-1).
2) La transformación lineal T: R3----R3 está definida por T(0,1,0) = (1, -2. 4), T(0,0,1) = (3,1,2) y T(2,1,1) = (- 1,2,5). Hallar la matriz de la transformación lineal T, y T(x,y,z).
b) Hallar el determinante de A, y A^(-1)
A = 2 4 5
1 3 1
0 -1 3
c) Sea B = 0 0 2 0
2 4 1 5
1 3 6 1
0 -1 2 3
i) Hallar el el adjunto de B13.
ii) Hallar el determinante de B y el determinante de (5 B^4. B^(-1)).
Un examen final de Intermediate Algebra en St. Louis University, 1º de Bussines
1) Calcular las siguientes operaciones, expresando el resultado final en forma estandar:
(2´6 x 10`(-4)) x (4´2 x 10`(-3)) / 2 x 10^(-4)
2) Expresar las siguientes afirmaciones en forma de porcentaje:
(a) En una ciudad de 42500 habitantes hay 504 nacimientos en un año (expresar el número de nacimientos sobre el numero de habitantes)
b) Un hombre gana semanalmente 500€ y gasta 340€. Expresar el % de gasto sobre lo que gana semanalmente)
c) Hallar el 12´5% de 17.
3) Si E = (1,2,3,4,5,6,7,8,9), A = (1,2,3,4,8), B= (1,7,8,4) y C = (1,8,9), todos incluidos, hallar:
a) A´, B´, C´
b) AU(B intersección C)
4) Realizar las siguientes operaciones:
a) (3 x^3 +2 x^2 - 2x - 2)(x^2 - 3x + 1) b) (y - 1) / (y + 2) + (y - 3) / (y + 4)
5) En una encuesta en un aereopuerto 55 viajeros dijeron que habían estado en España, 53 en Francia, 78 en Alemania, de estos 18 habían estado en España y Francia, 17 en España y Alemania, 25 en Francia y Alemania y 10 en los tres países. Hallar el número de viajeros encuestados.
6) Factorizar completamente x^8 - 1
7) Resolver la desigualdad (x^2 + x) / (x + 2) > (9 + x) / (x + 2)
8) Racionalizar (x^2 - 81) / (Raiz x - 3)
9) Resolver raiz (x + 2) + 4 = x
10) Simplificar la expresión (x^3 - 8) / (x^2 + 2x + 4)
Un examen final de Finite Mathematics en St. Louis University, 1º de Empresariales
Una y sólo una de las respuestas es correcta
1) La ecuación de coste en dólares de una empresa que fabrica estéreos es C = g(n) = 96000 + 80n, donde 96000 representan los costes fijos y 80$ son los costes variables por unidades. Se verifica que la gráfica de esta función es:
A) Una recta paralela al eje OX
B) Una recta con pendiente de 96000
C) Una recta que pasa po (1000, 176000) y por (50, 105000)
D) Todas las respuestas anteriores son falsas.
2) Una empresa de fundición produce tres tipos diferentes de esculturas de bronce. El departamento de fundición puede realizar un máximo de 350 horas de trabajo semanales y el departamento de acabado 150. La escultura A necesita de 30 horas para fundición y de 10 horas para el acabado. La escultura B requiere de 10 horas para fundición y de 10 horas para el acabado. La escultura C necesita de 10 horas para fundición y 30 horas para el acabado. Operando la planta al máximo de capacidad, el número de cada tipo de esculturas producidas serán:
A) 10 de A, 5 de B, 0 de C,
B) Las de A) y 11 de A, 1 de B y 1 de C,
C) Las de B) y otras más,
D) Las de A), 5 de A, 1 de b, 0 de C.
3) La solución del sistema x + 2y = k1 x + 3y = k2 para I) K1 = 3, k2 = 5 II) k1 = 1, k2 = 3 III) k1 = - 2, k2 = 1 , son respectivamente:
A) x = -3, x = -1, x = 5
y = 2, y = 2, y = 1
B) x = -1, x = -3, x= -8
y = 2, y = 2, y = 3
C) x = 2, x = -8, x = -3
y = -1, y = 3, y = 2
D) Todas las respuestas anteriores son falsas.
4) Resolviendo gráficamente el sistema 2x + y <= 20, 10x + y >= 36, 2x + 5y >= 36 y siendo S la región factible se verifica:
A) Los puntos (8,4), (10,2) y (5,8) pertenecen a S.
B) Los puntos (5,7), (10,5) y (2,2) pertenecen a S.
C) Los puntos (6,7), (2,18) y 88,5) pertenecen a S.
D) Todas las respuestas anteriores son falsas.
5) Al maximizar P = 20x + 10y sujeta a las restricciones :
2x + 3y >= 30, 2x + y <= 26, -2x + 5y <= 34, x >= 0, y>= 0, obtenemos el máximo en:
A) x = 0, y = 10 sólamente.
B) x = 8, y = 10 x = 12, y = 12 sólamente.
C) x = 8, y = 10 x = 12, y = 2, x= 7, y = 5 sólamente.
D) Todas las respuestas anteriores son falsas.
6) En la inversa de la matriz M = 1 3
4 2 se verifica.
A) La segunda fila es 2 -1
B) La segunda columna es -1/5 2
C) La primera fila es -1/5 2/5
D) Todas las respuestas anteriores son falsas.
7) Se tienen tres ofertas de trabajo: La empresa A paga al empezar 20000$ al año y un aumento de 800$ al año. la empresa B paga al empezar 22000$ al año y un aumento de 500$ al año. La empresa C paga al empezar 18000$ al año y un aumento de de 1000$ al año. Después de un periodo de 30 años, las dos mejores ofertas son:
A) A y B B) A y C C) B y C.
8) La solución de la inecuación - 3(x - 1) + 2(4 - x) <= 5 - (x + 1) es:
A) (4, infinito) incluído el 4. B) (2, infinito). C) (3, infinito) con el tres. D) Todas falsas.
8) Si colocamos un principal de 80000$ al 6% anual, con capitalización trimestral durante 5 años, el montante total final será:
A) 100540$ B) 95626$ C) 98236$ D) Todas falsas.
9) El capital necesario para que colocado al 9% anual, en capitalización cuatrimestral produzca un capital final de 9000$ en 3 años es:
A) 8324$ B) 7987$ C) 7674· D) Todas falsas.
10) Un granjero puede comprar una mezcla de pienso A a 20$ la libra y otra mezcla B a 40$ la libra. Cada libra de A contiene 3000 unidades del nutriente N1, y 41 unidades del nutriente N2. Cada libra de B contiene 4000 unidades del nutriente N1 y 4000 unidades del nutriente N2. El mínimo diario que se necesita es de 36000 unidades de N1 y 20000 unidades de N2. Estas necesidades serán satisfechas si se compran:
A) 5 libras de A y 4 libras de B.
B) 20 libras de A y 0 libras de B.
C) 0 libras de A y 9 libras de B.
D) Todas las respuestas anteriores son falsas.
11) El coste mínimo diario con el que cubrimos al mínimo las necesidades del ejercicio anterior es:
A) 260$ B) 280$ C) 360$ D) Todas falsas.
12) Los puntos corner de la región factible del ejercicio 10 son:
A) (20,0), (8,3), (0,9) B) (0,20), (8,3), (9,0) C) (0,6), (8,3) (20,0) D) Todas falsas.
13) El mínimo de libras que necesitamos de comida A y B y que hagan mínimo el coste, en el ejercicio 10) es:
A) 3 libras de A y 6 de B. B) 5 libras de A y 8 de B. C) libras de A y 9 de B. D) Todas falsas.
14) El índice de coste de vida aumentó el 8% en cada uno de los 5 años pasados, y tienes un acuerdo salarial que incrementa tu salario en el mismo porcentaje cada año. Tu salario actual si recibías un salario de 20000$ por año hace 5 años, será:
A) 45500$ B) 58400$ C) 38200$ D) Todas falsas.
15) El número de subconjuntos de tres elementos, que podemos formar de un conjunto de siete elementos son:
A) 210. B) 5040. C) 21. D) Todas falsas.
16) Los beneficios una empresa vienen dados por la función B = -(x)^2 + 4x - 1, siendo x el número de unidades vendidas. El máximo de beneficios se alcanza con la venta de:
A) x = 2 B) x = 3 C) x = 4 D) Todas falsas.
17) La función f(x) = (x -.1) / (x + 2) está definida en:
A) R - 1 B) R - (1,2) C) R - 2 D) R -( -2)
Un examen final puesto en la Universidad de Comillas ICADE, 1º ADE
Test (30% de la nota)
1) Sea siguiente sistema de acuaciones lineales
a11 x + a12 y + a13 z = b1
a21 x + a22 y + a23 z = b2
a31 x + a32 y + a33 z = b3 con matriz de coeficientes A. Señale la afirmación falsa:
a) Si det A es distinto de cero, entonces el sitema de ecuaciones lineales es compatible determinado.
B) Si b1 = b2 = 0 entonces el sistema siempre es compatible indeterminado.
C) Si la matriz A es triangular superior, con elementosen la diagonla principal distintos de cero, entonces el sistema de ecuaciones lineales tiene un única solución.
D) Si se sabe que (a31, a32, a33 I b39 = (-(a21, a22, a23 I b2) y det A1 =a11. a22 - a21. a12 es distinto de cero, entonces (x,y) = inversa (A1) . (- b1 -a13z)
( b2 -a23z)
2) Sea U incluído en R^7 un subespacio vectorial de dimensión 6. Sea S una familia de vectores de U que contiene 5 vectores linealmentw independientes y Ws está incluído en R^7 el subespacio vectorial generado por los vectores de la familia S. Encuentre la afirmación falsa:
A) Cualquier subconjunto de vestores de S contiene vectores linalmente independientes.
B) Dim(Ws) < dim(U)
C) Si añadimos 3 vectores a la familia de S se puede asegurar que la nueva familia está formada por vectores linealmente independientes.
D) Toda base de U contiene 7 vectores.
3) Sea la forma cuadrática Q(x,y,z) = 2xy + 2xz - 2yz + b x^2 + b z^2 donde b pertenece a R es un parámetro. Señale la afirmación verdadera:
A) Q(x,y,z) es una forma cuiadrática semidefinida negativa cuando b = - 1.
B) Q(x,y,z) es indefinida para todo b real.
C) Q(x,y,z) es definida negativa cuando b < - 1.
D) Ninguna de las anteriores.
4) Dada la matriz A a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33 Señale la afirmación verdadera:
A) Si A es una matriz diagonal donde a11 = 0, entonces elñ rango de la matriz es menor que tres.
B) Si a31 = a11 + a21 y a32 = a12 + a22 entonces necesariamente el det A = 0
C) Si det A no es cero y A ha sido transformado en C a31 a32 a33
a21 a22 a23
a11 a12 a13 entonces det C = det A.
D) Si se le añade una columna más a la matriz A, entonces su rango puede ser cuatro.
5) Sea s = (v1, v2, .....vm) una familia de vectores del Espacio vectorial R^n. Señalar la afirmación falsa:
A) Si m > n podemos asegurar que los vectores de la familia son linealmente dependientes.
B) Si m < n podemos asegurar que los vectores de la familia son linealmente independientes.
C) Si m = n np podemos asegurar que S sea una base de R^n.
D) Si v1 = 2 v2 podemos asegurar que los vectores de la familia s son linealmente dependientes.
6) Sean las familias de vectores B1 = (v1 = (1,0); v2 = (0,2)) B2 = (w1 =(3,-3); w2 = (1,k)). Señale la afirmación falsa:
A) Si k = -1 no se puede hacer un cambio de base.
B) Si k = 2 las coordenadas del vector u que en la base B1 son (4, -1/2) en la base B2 serán (1,1).
C) Si k = 3, la matriz de cambio de base de la base B2 a la base canónica es 3 1
-3 3
D) Si k = 3 las coordenadas del vector u que en la base B1 son (4, -1/2), en la base B2 serán (1, -1).
7) Sea A una matriz de dimensión n x n con un autovalores t1, t2, t3, ...tn. señale la afirmación verdadera:
A) Si r(A) = r < n podemos afirmar que ti distinto de cero, para todo i.
B) Si det a = 0 entonces r(A) = 0.
C) Si a(t1) = a(t2) = ......= a(tn) = 1 entonces existe una matiz diagonal semejante a la matriz A,cuyos elementos en la diaginal principal son t1, t2, t3, ....tn.
D) Si A tiene un autovalor repetido entonces no se puede diagonalizar.
8) El vector v = (1,0,1) es un autovector de la matriz A 2 5 1
1 7 -1
1 0 2
¿Cuál es el autovalor correspondiente?
A) t = 1 B) t = 0 C) t = -1 D) Ninguna de las anteriores.
Problemas
1) Sea el vector v1 = (1,a,5) y sea la familia de vectores S = ((v2 = (1,2,3), v3 = (1,1,1)). Suponiendo los valores de a = 3 y a = 5, se pide:
a) Determine el valor de a para que el vector v1 pertenezca al subespacio generado por los vectores de la familia de S.
b) Determine un valor de a paraque los 3 vectores dados formen una base del espacio vectorial de R^3.
c) Observe los tres vectores dados, y teniendo en cuenta los resultados del apartado a), determine: c1) Dos bases de un mismo subespacio vectorial de dimensión 2. c2) Un sistema generador del subespacio vectorial.
d) Sean los dos subconjuntos siguientes: S1 = ((x,y,z) de R^3 / - x + 2y - z = 0) S2 = ((x.y.z) de R^3 / x + 2y = 1). Compruebe si estos subconjuntos conforman un subespacio vectorial y justifique cual es el que corresponde a la variedad lineal construida con los vectores dados por la familia S.
2) Sea la aplicación f: R^2 ------R^3 tal que f(x,y) = (x,0,y). Se pide:
a) Demuestre que es una aplicación lineal.
b) Escriba su expresión analítica en la base canónica.
c) Dada la matriz A -1 0 1
0 0 0
1 0 -1 Obtener sus autovalores y una base ortonormal de autovectores.
c) Dada la forma cuadrática cuya matriz asociada es la del apartado anterior, se pide escribirla en forma polinómica y clasificarla.
CÁLCULO
En España el llamado Cálculo infinitesimal I se da como asignatura de 1º en todas la carreras de Ciencias, Económicas, Ingenierías y Arquitectura.
Analicemos, mediante exámenes finales propuesto, los contenidos y exigencias en Universidades españolas y del extranjero.
Un examen final puesto en la Universidad pública Rey Juan Carlos de Madrid, en 1º de ADE
1) Encontrar los extremos relativos,si existen de la función f(x,y) = 4 + x^3 + y^3 - 3xy
2) Elegir una de estas dos integrales y resover:
a) Integral 4 / (3 + x^2) dx b) Integral cos x . raiz(sen x) dx
3) Dibujar y calcular el área comprendida entre las funciones y = x^2 - 4x, y = -(x)^2 + 4x
Un examen final de Calculus and its Applications en St. Louis University, en 1º Empresariales
1) Estudiar la continuidad de la función:
x - 1 0 < x < 1
f(x) = 1 x = 1
2x - 2 x > 2
2) Hallar las asíntotas de la función:
IxI x < 1
f(x) = 1 / (x - 3) 1 < x < 2
x + 1 x > 2
3) Hallar las asíntotas de f(x) = (3x - 2) / (4 x^2 - 1)
4) Estudiar la continuidad y derivabilidad de la función:
1 x <= - 1
f(x) = - (x - 1)^2 + 1 - 1 < x < 2
2 x >= 2
5) Hallar y´ en 4xy - y^2 + 3y + 9 = 0
6) Hallar integral x. lnx dx
7) Hallar la superficie del recinto limitado por y = 1 / (x - 3), su asíntota horizontal y las rectas dadas por x = 1, x = 2.
8) Si el precio de una localidad en un concierto es de 32$, se venden 4000 entradas. si subimos el precio a 34$,se venden 3800 entradas. El aforo máximo es de 4000 butacas. Los costes por sesión son de 60.000$. Hallar el beneficio máximo
9) Estudiar los extremos relativos de f(x) = 2 x^3 - 9 x^2 + 12x - 4
10) Hallar la derivada de y = (lnx)^x
Un examen final puesto en la Universidad estatal de Irlanda, Galway en 1º Físicas
1) Resolver: a) - x^2 - 2x + 8 < 0 b) I 3x + 2 I >= 0
2) Hallar el dominio de: a) f(x) = 3 sen x b) f(x) = Raiz(x - 1)
3) Representar: a) f(x) = IxI b) f(x) = x^3 + 4
4) Una población de bacterias comienza con 150 individuos y dobla su población cada seis horas. El número de bacterias después de t horas viene dado por el modelo p(t) = 150. 2^(t/7). ¿Cuándo alcanzará los 15.000 individuos?
5) Calcular: a) lim (x^2 - 2x - 3) / x + 1) cuando x tiende a 1
b) lim (11 x^4 + 2 x^2 + 1) / (1 - 2 x^2) cuando x tiende a infinito.
6) Dada la función f(x ) x^2 + 2 x <1
3 x >= 1 Se pide:
a) Representarla b) Continuidad c) Derivada en x = 1
7) Hallar las derivadas de las funciones:
a) f(x) = (x^3 - 1) / (e^x + 1)
b) f(x) = sen ( x^2) + (sen)^3 (x)
8) Dada la función f(x) = 2 x^3 + 3 x^2 - 12 x + 1, se pide:
a) Primera y segunda derivada.
b) Puntos críticos.
c) Intervalos de crecimiento yu decrecimiento.
d) Por cada punto crítico detreminar si corresponde a u máximo o mínimo local.
e) Representar la gráfica.
9) Hallar integral ( 1 + 2/x - 3/x^2 + 3 x^2) dx definida entre x = 2 y x = 4.
10) Hallar integral ( 2x / (x - 1).(x -2)) dx
11) Hallar el área encerrada entre el eje de las X y la curva y^2 = x + 1 y la recta x = 3.
Un examen final puesto en la Universidad de Comillas, Madrid, ICADE, en 1º de ADE
1) Dada la función f(x) = e^x / x se pide:
a) Dominio b) Diferencial en x = 1 c) Obtener el polinomio de Taylor de grado 2 en x = -1 d) estudiar la monotonía.
2) Miguel, un amigo que trabaja en una empresa concesionaria de coches de sgunda mano en madrid os llama para ayudarle a determinar cuántos coches tendría que vender semanalmente. los coste totales de su empresa están dados por la función CT(q) = 4ln(q + 1) + + q^2 + 0,5,donde q >= 0 denota la cantidad de coches vendidos que, por simplicidad, asumimos pueda tomar cualquier valor entero o no entero no negativo. El precio de venta de cada coche es p = 7 (Iodas las unidades monetarias están expresadas en miles de euros). Se pide: a) La cantidad de venta que maximiza el beneficio de esta empresa. b)¿Cambiaría su respuesta del apartado anterior si asumimos que Miguel tiene que pagar el 35% de impuestos sobre el beneficio ganado semanalmente por su empresa? Razonar la respuesta.
3) Obtener las primitivas de : a) Integral(1 /(x. Raiz(ln3.(x)^2))dx b) Integral (cosx. ln(senx) dx
4) Sea f(x) = x^2 0<= x <= 1
e^(3x) 1 < x <= 4 Se pide:
a) Justificar si es integrable
b) Obtener su unción integral en el cerrado (1,4)
c) Utilizando los cálculos anteriores resuelva integral entre 0´5 y 3 de f(x) dx
d) Analizar la continuidad y derivabilidad de la función integral en el cerrado (1,4)
CONCLUSIONES
Desde mi experiencia como Profesor de Matemáticas en Institutos, Colegios y St. Louis University, tanto el Álgebra Lineal, como el Cálculo Infinitesimal se ven en España con un nivel más alto, y mayor dificultad.
Y hace bastantes años el nivel era mucho mayor. En las Facultades se estudiaba directamente el Cálculo multivariable, sin repasar nada de lo estudiado en Bachillerato. Y en Álgebra Lineal se partía de los Espacios Vectoriales.
Actualmente la mayoría de las Facultades de Ciencias han puesto el llamado "Curso cero", en el que durante unos meses se repasa el Cálculo visto en el Bachillerato, ampliando un poco el tema de Integración. Y es que estas dos asignaturas resultan ser las materias más difíciles de aprobar en 1º de carrera. Y en Álgebra pasa igual repasando los sistemas lineales.
¿No sería mejor distribuirlas en varios niveles escalonados? ¿Por qué en la mayoría de los países de nuestro entorno lo hacen? ¿Lo saben nuestras Autoridades Académicas Ministeriales y Rectorales?
