Vamos a estudiar cómo hallamos los máximos y mínimos en funciones de una y dos variables.
Para ello tenemos que saber realizar la derivada de una función de una sola variable, y = f(x), y las derivadas parciales de z = f(x.y).
Lo vamos a ver mediante un ejemplo comparativo:
y = f(x) = (x - 2)^2 + 1 que es una parábola en el plano.
z = f(x,y) = (x - 2)^2 + (y - 3)^2 + 1 que es un paraboloide de rotación, generado por la parábola anterior, al girar alrededor de su eje. Ahora estamos en el espacio. (Ver figuras)
Para la función y = f(x) = (x - 2)^2 + 1:
Condición necesaria: En el extremo la pendiente ha de ser cero. Por tanto hallamos la derivada e igualamos a cero y´(x)= 2(x - 2) = 0, implica x -2 = 0, es decir x = 2 es el único candidato.
Condición suficiente: Se halla la derivada segunda y"(x) = 2 . Se particulariza en el candidato y tenemos y"(2) = 2 > 0. Por tanto en x = 2 hay un Mínimo, concretamente en (2,1)
Para z = f(x,y) = (x -2)^2 + (y - 3)^2 + 1
Condición necesaria: Las pendientes en dirección al eje x y al eje y han de ser cero. Para ello hallamos las derivadas parciales.
f´x = 2(x - 2) = 0, implica x = 2 En esta derivada se considera la y constante.
f´y = 2(x - 3) = 0, implica x = 3 En esta derivada se considera la x constante.
Tenemos el candidato en (2,3)
Condición suficiente: Se hallan las derivadas parciales segundas:
f"xx = 2, f"xy = 0, f"yx = 0, f"yy = 2
Se forma el Hessiano, determinante de esas derivadas y particularizado en (2,3), que en este caso coinciden.
2 0
0 2 Al desarrollarlo nos queda H = 2.2 - 0.0 = 4
Si H(2,3) > 0 y f"xx(2,3) > 0 implica Mínimo en (2,3,1)
Si fuese H(a,b) > 0 y f"xx(a,b) < 0 implica Máximo.
Si H(a,b) < 0 No hay extremos. Hay el llamado punto de silla(*)
Si H(a,b) = 0 no se sacan conclusiones y habría que estudiarlo por otro metodo.
Ejemplo 1. Hallar los extremos relativos de z = f(x,y) = x^4 - 8xy + 2 y^2 - 3
Condición necesaria: f´x = 4 x^3 - 8y = 0
f´y = - 8x + 4y = 0
Resolvemos el sistema: 4y = 8x, es decir y = 2x. Sustituyendo en la primera ecuación tenemos 4 x^3 -16x = 0, implica 4x(x^2 - 4) = 0 implica x = 0, x = 2, x = - 2. Por tanto los candidatos a extremos son (0, 0), (2, 4), (- 2, - 4).
Condición suficiente: Hallamos las derivadas parciales segundas:
f"xx = 12 x^2, f"xy = - 8, f"yx = -8, f"yy = 4
H(x,y) = 12 x^2 -8
- 8 4
En (0,0) H(0,0) = 0 -64 = - 64, implica que no hay extremo.
En (2, 4) H(2,4) = 48.4 - 64 > 0 y f"xx(2,4) = 48 > 0. Por tanto mínimo en (2,4)
En (- 2, - 4) H(- 2, - 4) = 48.4 - 64 > 0 f"xx = 48 > 0. Por tanto mínimo en ( -2, - 4)
En todas las Facultades de Cioencias en España, se estudian estos tópicos en las asignaturas Cálculo I y Cálculo II, de primer año de carrera.
(*) Será objeto en otro artículo.
