Comparativa de cálculo de extremos relativos en funciones de una y dos variables

José María

Publicado por José María

Vamos a estudiar cómo hallamos los máximos y mínimos en funciones de una y dos variables.

Para ello tenemos que saber realizar la derivada de una función de una sola variable, y = f(x), y las derivadas parciales de z = f(x.y).

Lo vamos a ver mediante un ejemplo comparativo:

y = f(x) = (x - 2)^2 + 1  que es una parábola en el plano.

 z = f(x,y) = (x - 2)^2 + (y - 3)^2 + 1  que es un paraboloide de rotación, generado por la parábola anterior, al girar alrededor de su eje. Ahora estamos en el espacio. (Ver figuras)

Para la función y = f(x) = (x - 2)^2 + 1:

Condición necesaria: En el extremo la pendiente ha de ser cero. Por tanto hallamos la derivada e igualamos a cero  y´(x)= 2(x - 2) = 0,  implica  x -2 = 0, es decir x = 2 es el único candidato.

Condición suficiente: Se halla la derivada segunda  y"(x) = 2 . Se particulariza en el candidato y tenemos y"(2) = 2 > 0. Por tanto en x = 2 hay un Mínimo, concretamente en (2,1)

Para z = f(x,y) = (x -2)^2 + (y - 3)^2 + 1 

Condición necesaria: Las pendientes en dirección al eje x  y al eje y han de ser cero. Para ello hallamos las derivadas parciales.

f´x = 2(x - 2) = 0, implica  x = 2      En esta derivada se considera la y constante.

f´y = 2(x - 3) = 0, implica  x = 3        En esta derivada se considera la x constante.

Tenemos el candidato en (2,3)

Condición suficiente: Se hallan las derivadas parciales segundas:

f"xx = 2,    f"xy = 0,    f"yx = 0,   f"yy = 2

Se forma el Hessiano, determinante de esas derivadas y particularizado en (2,3), que en este caso coinciden.

             2       0    

             0       2      Al desarrollarlo nos queda H = 2.2 - 0.0 = 4

Si H(2,3) > 0   y  f"xx(2,3) > 0  implica Mínimo en (2,3,1)  

Si fuese H(a,b) > 0  y  f"xx(a,b) < 0  implica Máximo.

Si  H(a,b) < 0 No hay extremos. Hay el llamado punto de silla(*)

Si  H(a,b) = 0 no se sacan conclusiones y habría que estudiarlo por otro metodo.  

Ejemplo 1.    Hallar los extremos relativos de z = f(x,y) =  x^4 - 8xy + 2 y^2 - 3

Condición necesaria:  f´x = 4 x^3 - 8y = 0

                                    f´y = - 8x + 4y = 0      

Resolvemos el sistema:   4y = 8x, es decir  y = 2x. Sustituyendo en la primera ecuación tenemos 4 x^3 -16x = 0, implica 4x(x^2 - 4) = 0  implica x = 0, x = 2, x = - 2.  Por tanto los candidatos a extremos son (0, 0), (2, 4), (- 2, - 4).

Condición suficiente: Hallamos las derivadas parciales segundas:

f"xx = 12 x^2,  f"xy = - 8,  f"yx = -8,  f"yy = 4

H(x,y)  =   12 x^2        -8         

                     - 8           4      

En (0,0)   H(0,0) = 0 -64 = - 64, implica que no hay extremo.  

En (2, 4)   H(2,4) = 48.4 - 64 > 0   y   f"xx(2,4) = 48 > 0. Por tanto mínimo en (2,4)  

En (- 2, - 4)   H(- 2, - 4) = 48.4 - 64 > 0   f"xx = 48 > 0. Por tanto mínimo en ( -2, - 4)

En todas  las Facultades de Cioencias en España, se estudian estos tópicos en las asignaturas Cálculo I y Cálculo II, de primer año de carrera.

(*) Será objeto en otro artículo.                                    

  

    

 

¿Te ha gustado? Compártelo
José María

José María Galdón Canavese ver perfil

Profesor en Tusclasesparticulares

Imparte clases de matemáticas y Primaria

Síguenos en
© 2007 - 2020 Tus clases particulares Mapa web: Profesores particulares| Academias y centros