Crecimiento exponencial y crecimiento logarítmico

El crecimiento exponencial obedece a las gráficas de Funciones Exponenciales, que son aquellas en las que en el exponente figura x. Como profesor de matemáticas con experiencia, voy a profundizar en esta temática.

Empezar con las clases de matemáticas

Así, y = 2^x es Función Exponencial de base 2, pero no hay que confundirla con y = x^2, que es una función polinómica.

Veamos la función exponencial      y = 2^x

Lo primero que tenemos que observar, es que para cualquier valor que le demos a la x, la y nunca toma valores negativos, ni tampoco cero.

2^0 = 1 ,  2^1 = 2,   2^2 = 4   2^3 = 8    2^4 = 16   2^5 = 32   2^6 = 64                                              2^(-1) = 1/2    2^(-2) = 1/2^2 = 1/4

Vemos que nunca sale un valor negativo para la y, cualquiera que sea el valor que pongamos en la x.

Si realizamos una tabla de valores para la representación de esta función  y = 2^x , tendremos    x                -2     -1    0   1   2   3   4    5  ....   10 .....     20  ............            100                                  y = x^2     1/4   1/2    1   2   4   8  16  32 ...1024 ..... 1048576 ......  1,2676506. 10^30

      Vemos que para tan sólo x = 100,  la y alcanza la cantidad de:                                                                                        1 267 650 600 000 000 000 000 000 000 000

Qué leída, es: un pentamillón doscientos sesenta y siete mil seiscientos cincuenta cuatrillones, seiscientos mil trillones. El crecimiento es casi inconmensurable, se sale de nuestra capacidad de asimilar esas cifras, e incluso nos cuesta leerla. Pues es lo que se llama Crecimiento Exponencial. Y ocurre en muchos casos en la naturaleza, en las divisiones de microorganismos, bacterias, virus y células cancerígenas. Y también en algún tipo de negocio empresarial, y crecimiento de poblaciones, pero limitando en el tiempo el valor asignado a la x.

De esta manera podemos entender cuando nos dicen que un rumor se propaga de forma exponencial, que los ingresos obtenidos por negocios piramidales crecen de manera exponencial, y la pandemia que actualmente estamos sufriendo con el coronavirus.

En este último caso tenemos para España:                                                                           

Fecha         04/03   05/03   06/03   07/03   08/03   09/03  10/03  11/03   12/03  13/03  14/03  Infectados    218      254      393     460       626     1013   1628    2040   2871   4906

Muchos modelos matemáticos de situaciones reales se expresan mediante estas funciones exponenciales, y sobre todo las que llevan como base el Número e, por ejemplo y = e^2. El Número e, en honor al matemático alemán Leonardo Euler, es un número irracional; posee, por tanto, infinitas cifras decimales no periódicas, e = 2´718281828...... Es la base de los logaritmos neperianos (J. Napier) que se escriben  ln x  ó  L x, es decir el logaritmo base el número e.

Veamos un ejemplo de modelo matemático. Un cultivo de bacterias crece a un ratio proporcional a su número. En el tiempo t = 0 hay 20000 bacterias y cinco días más tarde hay 400000. Vamos a hallar la función que expresa el número de bacterias, dependiente del tiempo transcurrido.                             

Sea P(t) lapoblación de bacterias presentes en el día t       P(t) = Po. e^(kt)                                    Hallemos Po y k. sabemos que:

• P(0) = 20000   y   P(5) = 400000
• P(t) = 20000 e^(kt)
• P(5) = 20000 e^(k5) = 400000
• y despejando e^(k5) nos queda e^(k5) = 400000/20000  = 20                                                                             

En esta ecuación  e^(k5) = 20, queremos obtener t. Para ello tomamos ln en los dos miembros  ln(e^(k5)) = ln20 . Aplicamos la propiedad de la potencia en el logaritmo y nos queda                         k5 lne = ln20  Y como  lne = 1   tenemos  k5 = ln20, es decir  k = (ln20)/5 = 0,60

Por tanto, la función P(t) = 20000e^(0´6t)              

Así, la población que habrá a los t = 10 días será P(10) = 20000e^(6) = 20000. 403´428 =              = 8068575´87 bacterias. Es un crecimiento exponencial.  

El crecimiento logarítmico viene dado por la función y = log x, en base 10 o bien por y = ln x      siendo el crecimiento muy suave. por ejemplo para y = log x tenemos:    

x                    1  10  100  1000   10000  100000  1000000  10000000

y =  log x           0    1    2       3          4          5              6             7          

   Ambas funciones  y = log x       y = 10^x  son recíprocas(inversas), al igual que                                                             y = ln x         y = e^x

Si log x = a   equivale a decir que  10^a = x                                                                                        Entonces log 1000 = a, es decir 10^a = 1000 , por lo que a = 3                                                                                           log 1000 = 3

Si ln x = 2    equivale a decir que    e^2 = x  Por lo que x es aproximadamente igual a 2´72 . 2´72 = 7,34                                                                                                                    

En la misma forma:  ln e = 1  pues   e^1 = e                                                                                                                        ln 1 = 0  pues   e^0 = 1