INTRODUCCIÓN
Una recta r queda determinada cuando conocemos un punto de ella A(x1, y1, z1) y un vector director v(v1, v2, v3) (*)
ECUACIÓN VECTORIAL DE LA RECTA
Al vector de posición del punto A lo llamamos a. Tomamos un punto genérico de la recta X.
Al vector de posición del punto X, lo llamamos x
Se observa en la figura que el vector AX puede ser un vector director de la recta.
En la figura vemos que x = a + AX, AX = t. v
Por tanto nos queda x = a + t. v que es la ecuación vectorial
En coordenadas será (x, y, z) = (x1, y1, z1) + t. (v1, v2, v3)
Ejemplo La ecuación vectorial de la recta que pasa por (2, 1, - 3) y tiene de vector director v (4, - 1, 5) es (x, y, z) = (2, - 1, - 3) + t. ( 4, - 1, 5)
ECUACIONES PARAMÉTRICAS DE LA RECTA
De la ecuación vectorial tenemos:
x = x1 + t. v1
y = y1 + t. v2
z = z1 + t. v3
Ejemplo Las ecuaciones paramétricas de la recta anterior son:
x = 2 + 4t
y = 1 - t
z = - 3 + 5t
Dando valores al parámetro t, obtenemos puntos de la recta. Así, si t = 2, obtenemos x = 10,
y = - 1, z = 7, por lo que (10, - 1, 7) es un punto de esa recta.
ECUACIÓN CONTINUA DE LA RECTA
De las ecuaciones paramétricas despejamos el parámetro t, e igulamos:
(x - x1) / v1 = (y - y1) / v2 = (z - z1) / v3
Ejemplo La ecuación continua de la recta anterior es:
(x - 2) / 4 = (y - 1) / - 1 = (z + 3) / 5
ECUACIONES REDUCIDAS DE LA RECTA
Vienen dadas por la intersección de dos planos
Ax + By + Cz + D = 0
A´x + B´y + C´z + D´= 0
Este sistema sale compatible indeterminado, tiene infinitas soluciones, que son los puntos de la recta, quedando estructurada en forma paramétrica.
Ejemplo Expresar en forma paramétrica la recta dada por los planos:
3x + y - 2z - 1 = 0 Matricialmente 3 1 - 2 1
4x - 2y + 3z - 5 = 0 4 - 2 3 5 que equivale
3 1 - 2 1
0 - 10 17 11 Hacemos z = t y tenemos 10 y = 11 - 17 z es decir y = -11(10) +17/10) t
3x = 1 + 2t + 11/10 - (17/10) t implica 3x = 21/10 + (3/10) t
Por tanto la recta es x = 31/30+ (3/10) t
y = - 11/10 + (17/10) t
z = t
PASO DE PARAMÉTRICAS A REDUCIDAS
Para ello pasamos las paramétricas a continua, e igualamos dos a dos.
Ejemplo Dada la ecuación de la recta r x = 2 + t
y = - 1 + 3t
z = - 2 - t
Hallar las ecuaciones reducidas.
Pasamos a continua (x - 2) / 1 = (y + 1) / 3 = (z + 2) / - 1
De la primera igualdad 3x - 6 = y + 1 implica 3x - y - 7 = 0
De la segunda igualdad - y - 1 = 3 z + 6 implica y + 3z + 7 = 0 que es la ecuación de esa recta, dada por dos planos.
(*) En la notación seguida, todo lo que lleve subíndice es un dato conocido.
