INTRODUCCIÓN
En todo triángulo podemos construir 4 puntos notables, cuales son el Baricentro, el Ortocentro, el Circuncentro y el Incentro. Para la construcción gráfica tan sólo debemos saber qué son las Medianas, las Alturas, las Mediatrices y las Bisectrices de un triángulo. Para el estudio analítico se necesita haber estudiado las ecuaciones de la recta en el plano, que versan en uno de mis artículos.
BARICENTRO
Es el punto donde se cortan las tres Medianas de un triángulo.
Las Medianas son rectas que pasan por un vértice del triángulo y por el punto medio del lado opuesto. El punto de intersección de las tres Medianas, se llama Baricentro, siendo el centro de gravedad del triángulo. Quiere esto decir, que si tenemos una placa triangular sólida, y construimos el Baricentro, esta placa se mantendría en equilibrio, si la sostenemos con un dedo puesto en ese punto.
Este punto se encuentra a un tercio de la base y dos tercios del vértice; claro en la zona de más masa. Siempre dentro del triángulo.
La construcción gráfica del Baricentro es fácil. Hallamos los puntos medios de los lados del triángulo, y los unimos con los vértices opuestos, cortándose en el Baricentro.
Veamos la localizaciión analíticamente.
Una vez que tracemos una de las Medianas, vemos que es una recta que pasa por dos puntos, el vértice y el punto medio del lado opuesto al vértice. Por tanto, podemos hallar su ecuación. Procedemos de igual modo, con la ecuación de otra de las Medianas. Y ya con sólo estas dos ecuaciones, resolviendo el sistema, nos sale el Baricentro.
Ejemplo 1. Hallar el Baricentro del triángulo de vértices A(0,2), B(4,0), C(- 1, -1)
Calculamos la Mediana del vértice A. Para ello hallamos el punto medio del lado BC, que llamamos M1: ((4 + (- 1)) / 2, (0 +(- 1)) / 2) = (3/2, - 1/2)
Y ahora hallamos la ecuación de la recta que pasa por esos dos puntos. Lo hago con la ecuación continua, por lo que tengo que calcular un vector director de la recta, por ejemplo el AM1: (3/2, - 1/2 - 2) = ( 3/2, - 5/2) La ecuación en forma continua será: x /3/2 = (y - 2) / 2. Y simplificando por 2 , nos queda 5x + 3y - 6 = 0
Calculamos la Mediana del vértice B, con el mismo método. Punto medio de AC: M2(- 1/2, 1/2) BM2 = (- 1/2 - 4, 1/2 - 0) = (- 9/2, 1/2). La ecuación nos queda (x - 4) / - 9/2 = y/ 1/2, implica que x + 9y - 4 = 0
Ahora resolvemos el sistema 5x + 3y - 6 = 0 equivalente a -15x - 9y + 18 = 0
x + 9y - 4 = 0 x + 9y - 4 = 0
Sumando nos queda - 14 x + 14 = 0, implica x = 1 que sustituída sale y = 1/3
Por tanto el Baricentro está en el punto P (1, 1/3), que vemos en el dibujo realizado.
Como seguridad, podemos hallar la tercera Mediana, y ver que este punto la verifica.
También se puede utizar la propiedad del Baricentro, es decir AP = 2PM1. Igualando componentes nos queda (x - 0, y - 2) = 2.(3/2 - x, - 1/2 - y). Es decir x = 1, y = 1/3. P(1, 1/3), que vemos en una forma mucho más rápida de obtenerlo.
Ejercicio 1. Hallar las coordenadas del Baricentro del triángulo de vértices A(0,0), B(2,4), C(4,1)
ORTOCENTRO
El Ortocentro de un triángulo es el punto donde se cruzan las tres Alturas del triángulo.
Las Alturas son rectas perpendiculares trazadas desde los vértices al lado opuesto.
La construcción gráfica requiere el uso de la escuadra y cartabón. Este punto puede estar situado dentro, fuera o sobre un vértice del triángulo. Veamos la localización analíticamente.
Tenemos que hallar la recta que pasa por un vértice iy es perpendicular al lado opuesto. Para ello hallamos la pendiente de ese lado opuesto, m, y la recta perpendicular tendrá de pendiente m´= = -1/m. Y establecemos la ecuación punto-pendiente. Y así con otra de las alturas. Resolvemos el sistema y obtenemos el Ortocentro del triángulo.
Ejemplo 2. Hallar el Ortocentro del triángulo de vértices A(1,2), B(3, 5), C(4, 1)
Hallamos la recta Altura del vértice A. para ello calculamos lun vector director de la recta que pasa por B y C BC( 4 - 3, 1- 5) = (1, - 4). La pendiente m = -4/1 = - 4. Y la de su perpendicular será m´= -1/- 4 = 1/4. Y la forma punto-pendiente de la recta altura será, y - 1 = 1/4(x - 2) , que pasada a general nos queda x - 4y + 7 = 0.
Hallamos la recta Altura del vértice B. Calculamos la pendiente de la recta que pasa por A y C. El vector AC (4 - 1, 1- 2) = (3, - 1). La pendiente m = -1/3. Y la de su perpendicular m´= 3. Entonces la ecuación punto-pendiente de la recta Altura del vértice B nos queda y - 5 = 3(x - 3) que en forma general es 3x - y - 4 = 0
Ahora resolvemos el sistema x - 4y + 7 = 0 equivalente a - 3x + 12y - 21 = 0
3x - y - 4 = 0 3x - y - 4 = 0
Sumándolas nos queda 11y - 25 = 0, implica y = 25/11, con x = 23/11. por tanto el Ortocentro del triángulo está en Q(23/11, 25/11). Lo podemos chequear con el dibujo previo.
Para asegurarnos de que está bien calculado, hallamos la tercera Altura, la del vértice C, y sustituimos el Ortocentro en ella, teniendo que satisfacerla, verificarla.
Ejercicio 2. Hallar las coordenadas del Ortocentro del triángulo de vértices A(0, 3), B(8,0) y C(- 3, 0)
CIRCUNCENTRO
Este punto es donde se cruzan las tres Mediatrices de los lados de un triángulo.
La Mediatriz de un lado es la recta perpendicular a ese lado pasando por el punto medio.
El Circuncentro es el centro de la circunferencia que pasa por los tres vértices del triángulo.
La construcción gráfica requiere los útiles básicos de dibujo. Y también se construirá la circunferencia que pasa por los tres vértices.
Analíticamente procederemos así: Calcularemos la pendiente(m) de un lado, el punto medio, y estableceremos la ecuación punto-pendiente de la mediatriz, con m´= -1/m . Hallamos la de otro vértice y resolvemos el sistema.
Ejemplo 3. Hallar el Circuncentro del triángulo de vértices A(2, 2), B(4. - 2), C(- 1, - 1)
Hallamos la ecuación Mediatriz dal lado AB. Para ello localizamos el punto medio M1(3, 0) y la pendiente de la recta AB será AB( 4 - 2, - 2 - 2)) = (2, - 4) por lo que m = - 4/2 = - 2. La pendiente de la mediatriz será m´= -1/m = -1/- 2 = 1/2. Por tanto nos queda la recta Mediatriz del lado AB y - 0 = 1/2( x - 3), es decir x - 2y - 3 = 0
Hallamos otra de las Mediatrices, por ejemplo la del lado CB. Calculamos el punto medio de CB: M2(3/2, - 3/2). El vector director de ese lado es CB (5, - 1). La pendiente m = -1/5, por lo que la de la Mediatriz será m´= 5. La ecuación punto-pendiente de esta Mediatriz del lado BC será y + 3/2 = 5(x - 3/2), es decir 5x - y - 9 = 0
Resolvemos el sistema x - 2y - 3 = 0 que equivale a - 5x + 10y + 15 = 0
5x - y - 9 = 0 5x - y - 9 = 0
Sumándolas nos sale 9y + 6 = 0, implica y = - 2/3 con x = 5/3 Cicuncentro en (5/3, - 2/3)
Ejercicio 3. Hallar el Circuncentro del triángulo de vértices A(0, 3), B(3, 0) C(- 3, 0)
INCENTRO
El Incentro de un triángulo es el punto donde se cortan las tres Bisectrices del triángulo.
La Bisectriz de un ángulo es la recta que lo divide en dos ángulos iguales.
Hallaremos dos Bisectrices y resolveremos el sistema, obteniendo el Incentro.
Ejemplo 4. Hallar el Incentro del triángulo de vértices A(0,2), B(2, 0), C(- 4, - 2)
Para ello hallamos la Bisectriz del vértice A. Tenemos que hallar las rectas que pasan por él.
Recta AC: Pasa por A y un vector director es AC (-4, - 4). m = 1. Por tanto y - 2 = (x - 0) que en forma general es x - y + 2 = 0
Recta AB: Pasa por A y un vector director es AB(2. - 2). m = - 1. Por tanto y - 2 = - (x - 0) que en forma general es x + y - 2 = 0
Las ecuaciones de las Bisectrices de A viene dadas por:
(x - y + 2) / Raiz(1^2 + 1^2) =(+ -) (x + y - 2) / Raiz(1^2 + 1^2) y operando nos queda y = 2, x = 0 que es la Bisectriz que nos interesa.
Las ecuaciones de la Bisectrices de B: Tenemos AB x + y - 2 = 0.
Hallamos la recta BC. Vector BC(-4 - 2, - 2 - 0) = (- 6, - 2), m= - 2/-6 = 3. La ecuación de esta recta será y - 0 = 3(x - 2), es decir 3x - y - 6 = 0. las ecuaciones de las Bisectrices de B son
(x + y - 2) / Raiz(1 + 1) = (+ -) (3x - y - 6) / Raiz(9 + 1)
Si operamos nos sale x = 0 por tanto el Incentro está en el punto (0, 0)
Ejercicio 4. Hallar el Incentro del triángulo de vértices, A(0, 3), B(3, 0), C(-3. 0)
Vemos que tenemos que relacionar: Baricentro con Medianas
Ortocentro con Alturas
Circuncentro con Mediatrices
Incentro con Bisectrices
SOLUCIONES
Ejercicio 1. Baricentro (2, 5/3)
Ejercicio 2. Ortocentro (0, 8)
Ejercicio 3, Circuncentro (0, 0)
Ejercicio 4. Incentro ((0, 3/ (1 + raiz 2))
