INTRODUCCIÓN
Una inecuación es una ecuación en la que el signo de igualdad viene en forma de >, o, < y también >=, <=
Así 3x - 1 < 0 es una inecuación polinómica de primer grado.
(2x + 3) / x >= 0 es una inecuación racional.
x^2 + 4 <= 2x es una inecuación polinómica de 2º grado.
Su solución está formada por un conjunto de números reales, verificando todos la inecuación.
RESOLUCIÓN DE INECUACIONES CON UNA INCÓGNITA
En general se resuelven con la misma técnica que las ecuaciones, con la salvedad de que si multiplicamos o dividimos por un número negativo, la desigualdad cambia.
Esto es fácilmente observable con números. Así 5 > 4. Pero si multiplicamos esta desigualdad por (- 1) nos queda - 5 < - 4. La desigualdad cambia.
Inecuaciones polinómicas de primer grado
Ejemplo 1 Resolver 4x - 8 > 0
Pasamos - 8 al segundo miembro, y nos queda 4x > 8. Dividimos todo por 4, y tenemos que nos queda x > 8/4 implica x > 2. Solución (2, infinito)
Vemos que la desigualdad no se ha alterado al dividir por un número positivo. Hay que tener en cuenta que los alumnos está mal acostumbrados a decir: "El cuatro está dividiendo, y pasa al segundo miembro multiplicando". pero ¡¡Cuidado!! cuando sea negativo,pues la desigualdad cambia. Veámos este fallo bastante generalizado en los alumnos.
Ejemplo 2. Resolver la inecuación - 8x + 4 < - 2
Restamos 4 a los dos miembros (pasamos el 4 al segundo miembro) - 8x < - 2 - 4 implica que - 8x < - 6 Y aquí vine el problema, la posible metedura de pata del alumno, que hace:
"Paso - 8 dividiendo al segundo miembro, y me queda x < - 6 / - 8". PUES MUY MAL, PORQUE LA DESIGUALDAD CAMBIA A >, YA QUE SE HA DIVIDIDO POR UN NÚMERO NEGATIVO.
Es decir nos tiene que quedar x > - 6 / - 8 implica x > 3 / 4 S = (3/4, infinito)
Y entendemos el fallo de los alumnos pues están acostumbrados a la muletilla " Si está divididiendo pasa a otro miembro multiplicando", ¡de alguien la habrán oído!
Ejemplo 3. Resolver la inecuación (x - 1) / 4 + x/2 > 3
Como si fuera una ecuación, lo primero que hacemos es quitar denominadores, y para ello multipicamos todo por 4, quedando x - 1 + 2x > 12, implica 3x > 13 implica x > 13/3. Por lo tanto la solución es S = (13/3, infinito)
Ejercicio 1. Resolver (2x + 3) /( 2) - 5x <= 1
Ejercicio 2. Resolver (x - 3) / (3) - 2x/9 - 2 < 0
Inecuaciones polinómicas de 2º grado o superior
El primer paso es factorizarlas, y al saber las raíces hacemos una tabla de signos.
Ejemplo 4. Resolver la inecuación x^2 + 2x - 3 >= 0
Conseguimos las raíces resolviendo la ecuación x = (-2 +- Raiz(4 + 12)) / 2 = 1 y - 3
Nos quedaría (x + 3) (x -1) >= 0. Realizamos la tablal de signos
(- inf, - 3) (- 3,1) (1, inf.)
x + 3 - + +
x - 1 - * +
+ - + S = (-inf, - 3) U (1. inf.) incluídos - 3 y 1
Ejemplo 5. Resolver x^2 + 4x + 4 < 0
Resolvemos la ecuación x = (- 4 +-Raiz (16 - 16)) / 2 = - 2
Nos queda (x + 2) (x + 2) < 0 Realizamos la tabla
(- inf., - 2) (- 2, inf,)
(x + 2)^2 + + S = Conjunto vacío
Ejemplo 6. Resolver x^3 - 2 x^2 - 3x < 0
Resolvemos x^3 - 2 x^2 - 3x = 0 implica x.(x^2 - 2x - 3) = 0 implica x = 0, x = - 1, x = 3
Nos queda x.(x + 1)(x - 3) = 0. Realizamos la tabla
(- inf., -1) (- 1, 0) (0, 3) (3, inf.)
x - - + +
x + 1 - + + +
x - 3 - - - +
- + - + S = (- inf., - 1) U (0,3)
Ejercicio 3. Resolver x^3 - x > 0
Ejercicio 4. Resolver (x - 2 )^2 < = 0
Inecuaciones racionales
En ellas igualamos el numerador y el denominador a cero,independiemytemente, para conseguir los puntos en la tabla.
Ejemplo 7. Resolver (x - 3) / (x + 4) >= 0
x - 3 = 0 implica x = 3
x + 4 = 0 implica x = - 4
Realizamos la tabla
(-inf., - 4) (- 4, 3) (3, inf.
x - 3 - - +
x + 4 - + +
+ - + S= (-inf.,- 4) U (3. inf.) inc. el 3
Ejemplo 8. Resolver (x^2 - 1) / x - 3) <= 0
x^2 - 1 = 0 implica x = 1 y - 1
x - 3 = 0 imlica x = 3
(-inf,. - 1) (- 1, 1) (1, 3) (3, inf.)
x - 1 - - + +
x + 1 - + + +
x - 3 - - - +
- + - + S = (- inf., - 1) U (1.3) Inc. - 1 y 1
Ejercicio 5. Resolver (x^2 -4) / (x^2 - 9) >= 0
APLICACIONES
Crecimiento y decrecimiento de una función
Para el estudio analítico de la monotonía de una función, tenemos que hallar los intervalos donde la derivada y´> 0, y´< 0. Es decir saber resolver inecuaciones. De ahí la gracia o desgracia de esta asignatura, que tiene trayectoria escalonada.
Beneficios
El coste de fabricación de un pantalón vaquero es de 4€ de material, y 12€ de mano de obra. Los gastos mensuales de la planta de fabricación son de 4000€. Cada pantalón se vende a 40€. Hallar cuántos pantalones se tienen que vender para que la fábrica obtenga beneficios.
Supongamos que sean x el número de pantalones que se venden.
Ingresos I = 40x
Coste C = 4x + 12x + 4000 = 16x + 4000
Beneficio B = I - C = 40x - (16x + 4000) = 24x - 4000 y B > 0 Por tanto tenemos que resolver la inecuación 24x - 4000 > o implica 24x > 4000, implica 24x > 4000, es decir x > 4000/24. por tanto se han de vender x > 166´7. 168 pantalones como mínimo
Ejercicio 6. El Departamento de corte y confección de La Agencia, elabora Camisetas T-Shirt para sus numerosos Agentes. Las camisetas tienen un coste de 3€ la unidad, con un añadido de 1€ por impresión de cada una, con la insignia ornamental de la mencionada Agencia. Los gastos de reembolsos fijos son de 4€. Los ingresos son de 6€ por camiseta.¿Cuántas camisetas se han de vender diariamente, para obtener beneficios?
Estrategia
Un operario tiene que subir al quinto piso, una serie de paquetes de 40 kg cada uno. El ascensor tiene una carga máxima de 500 kg, y el operario pesa 70 kg. Se pide el número de paquetes máximos que el operario podrá subir al 5º piso, subiendo él en el ascensor y sin subir él.
Veamos primero con el operario en el ascensor: Sea x el número de paquetes que puede subir, en tonces 40x + 70 <= 500, implica 40x < 500 - 70, implica x <= 430/40 x<= 10´75. Por tanto podrá subir junto con él 10 paquetes.
Si el operario no se sube al ascensor, tenemos 40x <= 500, implica x <= 500/40 x<= 12´5. Por tanto podrá subir 12 paquetes.
Ejercicio 7. Un camión tiene una carga máxima permitida de 10.000 kg. Tiene que transportar sacos de cemento de 35 kg y 8 palés de cerámica, cada uno de 500 kg. ¿Cuántos sacos podrá transportar como máximo?
SOLUCIONES
Ejercicio 1 (1/8, inf.) incluido 1/8
Ejercicio 2 (- inf., 27)
Ejercicio 3 (- 1, 0) U (1, inf.)
Ejercicio 4 x = 2
Ejercicio 5 (- inf., - 3) U (- 2, 2) U (3, inf.) incluído 2 y - 2
Ejercicio 6 Hay pérdidas.
Ejercicio 7 171 sacos.
