Las ocho formas de la ecuación de un recta en el plano

   Una recta en el plano queda determinada, definida, por uno de los siguientes datos:

   1) Conocemos dos puntos de ella.  r(A, B)

   2) Conocemos un punto y un vector director de la recta.  r(A, v)

   Por tanto, cuando queramos representar una recta, hallaremos tan sólo dos puntos de ella; no hacen falta más.

   Un vector director de una recta es aquel que nos da la dirección de la recta, independientemente de su módulo y sentido. Así, si  v(1,1) es un vector director de una recta, será, o bien en la propia bisectriz del primer cuadrante, o paralela a la bisectriz.  Notación(*)

 1. ECUACIÓN VECTORIAL DE UNA RECTA

   Supongamos la recta r  está  determinada por el punto  A(x1, y1)  y  el vector director v(v1,v2)

   Construimos el vector de posición del punto A, que será aquel con origen en (0,0)  y extremo en A. Tomamos sobre la recta un punto cualquiera X(x.y), y construimos su vector de posición.

   Así que tenemos el vector OA  y el vector OX. También dibujamos el vector AX

   Si nos fijamos en la figura  se verifica vectorialmente que      OX = OA + AX 

   Pero el vector  AX  es paralelo al vector director  v(v1,v2), tienen la misma dirección, por lo que podemos poner que  AX = t. v,  siendo  t  un número real.

   La ecuación anterior nos queda     OX = OA + t. v   que es la ecuación vectorial de la recta.

   También la podemos poner           (x, y) = (x1, y1) + t. (v1, v2)

   A partir de esta ecuación se deducen las demás.

   Ejemplo 1.  Hallar la ecuación de la recta r que pasa por el punto (2, 3) y tiene de vector director  v( 1, 4)

  Nos quedará  (x, y ) = (2, 3) + t. (1,4)

  2. ECUACIONES PARAMÉTRICAS

  De la ecuación vectorial, igualando componentes, tendremos

                                      x = x1 +t. v1

                                      y = x2 + t. v2

  que son las ecuaciones paramétricas de la recta. dando valores reales a  t  obtenemos puntos de la recta.

   Ejemplo 2. Hallar las ecuaciones paramétricas de la recta del Ejemplo anterior.

                                     x = 2 + t. 1

                                     y = 3 + t. 4

   Si damos valores a t, obtenemos puntos de esa recta   Si t = 2   x = 2 + 2. 1 = 4

                                                                                                          y = 3 + 2. 4 = 11

  Luego el punto (4. 11) pertenece a la recta.

  3. ECUACIÓN CONTINUA

   De las ecuaciones paramétricas despejamos t

   t = (x - x1) /v1      t = (x - x2)  v2    entoces      (x - x1) /v1  = (x - x2) /v2

   Ejemplo 3.  Hallar la ecuación continua de la recta del Ejemplo1.

   Nos dan la recta  r  con  el punto A(2, 3) y el vector director  v(1, 4),  la ecuación continua será:

                                                     ( x - 2) / 1 = (y -3) /4

  4. ECUACIÓN GENERAL O  CARTESIANA O IMPÍLICITA

   De la ecuación continua, y efectuando producto de medios es igual al producto de extremos:

     (x - x1). v2 = (y- y1).v1   implica que    (v2).x - x1.v2 = (v1).y -  y1.v1, y llevando al primer miembro nos queda,  (v2)x -(v1)y + y1.v1 - x1. v2

   Al coeficiente de x lo llamamos A, al coeficiente de y lo llamamos B, y al término independiente lo llamamos C. Por tanto nos queda   Ax + By + C = 0   con  A = v2, B = - v1

   Ejemplo 4.   Hallar la ecuación general de la recta r (A, v)

    De la continua tenemos que (x -2). 4 = (y - 3).1  es decir  4x - 8 = y - 3  y llevándolo al primer miembro obtenemos,  4x - y - 5 = 0

   PENDIENTE DE UNA RECTA

   Llámase así, a la inclinación que tiene la recta, respecto al eje OX. Se mide con la tangente del ángulo(â) que forma la recta con este eje. Se representa por  m, y es un nº real.

   Así  m = tag (â) = Cateto opuesto/cateto contiguo = v2 / v1

   Vemos que también  m = A/-B = - A/B

   Las rectas que entran y salen en el 1º y 3º cuadrante tiene pendiente positiva.

   Las rectas que entran y salen en el 2º y 4º cuadrante tiene pendiente negativa.

   Las rectas sobre el eje OX o paralelas a él tienen pendiente cero.

   Las rectas sobre el eje OY o paraleleas a él no tienen pendiente(infinito).

   Como referencia la recta bisectriz del 1º y 3º cuadrante tiene m = 1

   Como referencia la recta bisectriz del 2º y 4º cuadrante tiene  m = -1

   Ejemplo 5.  Hallar la pendiente de la recta del Ejemplo 1.

   Tenemos que  m = v2 /v1 = 4/1 = 4 , "estará" en 1º y 3º cuadrante  pues m positiva.

  Ejemplo 6.  Hallar la pendiente de la recta 3x + 5y - 9 = 0

    Como A = 3 = v2,  como B = 5 = -v1 implica  v1 = - 5   por tanto m = v2/v1 = 3/-5 = -3/5

   Ejemplo 7.  ¿Son paralelas las rectas r: 4x - 3y + 7 = 0  y   s:(x - 2)/3 = (y -1)/4?

  Si tienen la misma pendiente son paralelas. Pendiente de r   mr = -A/B = -4/3. Pendiente de la recta s    ms = v2/v1 = 4/3.  Por tanto no son paralelas.

   Ejemplo 8.  Hallar la pendiente de la recta  x - 3 = 0

    A = 1   B = 0    m = - A/B = - 1/0  indeterminado. Lo que nos dice que es paralela al eje OY.

    Ejemplo 9.  Hallar la pendiente de la recta  y + 4 = 0.

    Tenemos que A = 0  B = 1  Como m = - A/B = -0/1 = 0. Será paralela al eje OX.

   5. ECUACIÓN EXPLÍCITA O ESTANDAR  

  Como su propio nombre indica es aquella donde la  y viene explicitada, despejada

  En la ecuación general Ax + By + C = 0, despejamos la  y:  By = -Ax - C    implica que                 y = (-A/B) x -(C/B)   Como m = -A/B   nos queda y = mx + n   siendo n = -C/B el término independiente.

   Ejemplo 10.  Hallar la ecuación explícita de la recta r del Ejemplo 1

   Como la ecuación general es  4x - y - 5 = 0, despejando la y:   - y = - 4x + 5   implica que            y = 4x - 5   observamos que la pendiente viene dad por el coeficiente de la x   m = 4

   Esta forma de la ecuación de la recta, es la que le resulta más familiar a los alumnos, pues la han estudiado en cursos anteriore, y representado.

  6. ECUACIÓN PUNTO - PENDIENTE

   De la ecuación continua  (x - x1)/v1 = ( y - y1)/v2  tenemos que (y- y1). v1 = (x - x1). v2

   Despejando:   (y - y1) = (v2/v1). (x - x1), es decir   y - y1 = m.(x - x1)

   Se utiliza mucho en problemas de calcular la recta tangente a funciones en un punto.

  Ejemplo 11.  Hallar la ecuación punto-pendiente de la recta del Ejemplo 1.

    (x1, y1) = (2, 3)    v(1 4)   Entonces tendremos  y - 3 = (4/1) (x - 2) es decir y - 3 = 4(x -2)

  7. ECUACIÓN DE LA RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS

   Si tenemos dos puntos de una recta  C(x1, y1)   D(x2, y2), un vector director será el CD, cuyas componentes serán  extremo menos origenm por tanto  CD (x2 - x1, y2 - y1)  y  como CD (v1, v2)  tendremos que  v1 = x2 - x1,  v2 = y2 - y1  Sustituyendo enla ecuación continua de la recta  (x - x1)/v1 = (y -y1)/v2  tendremos    (x -x1) / ( x2 - x1) = (y - y1) / (y2 - y1)

   Ejemplo 12.  Hallar la ecuación de la recta que pasa por  C(-1, 2) y D(3, 4)

                    (x +1) / (3 +1) / (y - 2) / (4 - 2)  es decir  (x + 1) / 4 = (y - 2) / 2

  8. ECUACIÓN CANÓNICA O SEGMENTARIA 

   Si en la ecuación de un arecta hallamos los puntos de corte con los ejes tendremos, corte con el eje OX (se hace y = 0) y tendremos un punto (a, 0), Corte con el eje OY(se hace la x = 0) y tendremos otro punto de la recta (0, b) Y aplicando la ecuación de la recta que pasa por dos puntos, nos queda  (x -a) /(0 - a) = (y - b/ /(b - 0), es decir    (x - a)/-a  = (y - b)/ b,   operando nos queda  (x - a) / 1 + (y - b) / 1 = 0

   a abscisa en el origen,  b ordenada en el origen

   Ejemplo 13.  Hallar la ecuación de larecta  2x - y + 4 = 0  en forma canónica.

   Para llo hallamos los puntos de cote con los ejes.  Eje OX (y = 0)  x = - 2 = a   corte con el eje OY(x = 0)   y = 4 = b.  por tanto nos queda  (x + 2) / 1 + (y - 4) / 1 = 1

   Estas son las ocho formas de expresión de la recta en el plano.

   Veámos algunos problemas.

   Problema 1.  Hallar la ecuación de una recta  que es paralela a la recta 2x - 4y - 1 = 0, y que pasa por el punto de intersección de las rectas  x - y = 0,  y = - x + 2.

  La pendiente de la recta pedida, ha de ser la misma que la de su paralela, es decir m = -A/B =  = -2/- 4 = 1/2.  Ahora buscamos el punto intersección de esa dos rectas que nos dan, resolviendo el sistema formado por las dos, a saber:  x - y = 0, y = - x + 2. Lo hacemos por sustitución de la segunda en la primera:  x - ( -x + 2) = 0  implica 2x - 2 = 0  implica x = 1. Y calculamos la y en cualquiera de las ecuaciones  y = -1 + 2 = 1  por tanto el punto es el  (1, 1)

   Ya podemos escribir la recta en la forma Punto-Pendiente: y - 1 = 1/2 (x - 1)

   Problema 2.  Sea la recta 3x + ky + 2 = 0. Hallar  k para que esta recta sea paralela a la recta dada  por x = - 1 + 5t    y = 2 + 3t

 Han de tener la misma pendiente. Pendiente de la primera m = - A/B = - 3/k

 Pendiente de la segunda, que nos la dan en paramétricas:  Como v1 = 5,  v2 = 3, m = v2/v1 =   =3/5.  Entonces  - 3/k = 3/5   implica 15 = - 3 k  implica  k = -5

   (*) NOTACIÓN  Los vectores están en negrita. Toda la notación que viene con subíndice, como v1, v2, x1, x2, y1, y2,  son datos, dados por números en el enunciado.