1º: ¿Qué es una asíntota?
Para empezar, como profesor de matemáticas experimentado, voy a hablaros sobre lo que es una asíntota, para después, profundizar en su funcionamiento. Una asíntota es una recta a la cual se va acercando una función, pero nunca jamás la llega a tocar.
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Ahora pondré una imagen dónde se puede observar los distintos tipos que asíntotas y como las funciones cada vez se van acercando más y más a la asíntota, pero nunca les llegan a tocar, por lo tanto, podríamos aumentando más y más la imagen que llegaríamos a infinito y no tacarían la asíntota:
En la anterior gráfica podemos observar que la función azul tiene dos asíntotas, una vertical y otra horizontal:
Después la gráfica verde también tiene dos asíntotas, una vertical y otra oblicua:
2º: Asíntotas horizontales
Como hemos visto más arriba, la asíntota horizontal es una recta en la que x tiende a infinito o a menos infinito.
Por lo tanto, imaginemos que tenemos la siguiente recta:
- Dicha recta sería una asíntota horizontal por la izquierda si:
- Dicha recta sería una asíntota horizontal por la derecha si:
Cómo se puede observar, en la asíntota horizontal por la izquierda x tiende a menos infinito y en la asíntota horizontal por la derecha x tiende a más infinito.
Ahora vamos a ver un ejemplo:
Vamos a estudiar la función:
Ahora calculamos los límites:
- Cuando x tiende a infinito:
- Cuándo x tiende a menos infinito:
Por lo tanto, como hemos dicho anteriormente, la recta es una asíntota horizontal cuándo el límite cuando x tiende a más infinito o menos infinito da un número. En este caso vemos que cuando x tiende a menos infinito la función nos da cero. Por lo tanto, esta función tiene una asíntota horizontal:
Como se puede ver en la siguiente gráfica:
3º: Asíntotas verticales
Como hemos visto más arriba, la asíntota vertical es una recta en la que su límite cuando x tiende a un determinado número da infinito.
Por lo tanto, imaginemos que tenemos la siguiente recta:
- Dicha recta sería una asíntota vertical por la izquierda si:
- Dicha recta sería una asíntota vertical por el lado derecho si:
Cómo se puede observar, en la asíntota vertical por la izquierda, cuando x tiende a un determinado número por la izquierda (por ello el signo -), es decir, se acerca cada vez más y más a este número por el lado izquierdo, la y se va acercando al infinito (si es positivo irá hacia arriba y se es negativo hacia abajo) y en la asíntota vertical por el lado derecho cuando x tiende a dicho número por la derecha, la y se va acercando a infinito.
Ahora vamos a ver un ejemplo:
Vamos a estudiar la función:
Ahora calculamos los límites:
- Cuando x tiende a 5 por la derecha:
- Cuándo x tiende a 5 por la izquierda:
Podemos ver que cuando x tiende a 5 por la derecha lo podemos sustituir por 5,1. Por lo que al hacer 5.1 - 5 obtenemos el signo del cero, como 5,1 − 5 da positivo, entonces el cero será positivo. Y en el segundo caso lo mismo, pero sustituyendo la x por 4,9 y entonces podemos observar que da un número negativo, y entonces, podemos decir que el cero tiene un símbolo negativo.
Por lo tanto, podemos decir que tiene una asíntota en x = 5, tanto por la izquierda como por la derecha. Si nos acercamos al 5 por la izquierda, la función se acercará cada vez más a menos infinito, es decir, la gráfica irá hacia abajo y si nos acercamos al 5 por la derecha, entonces nos acercaremos cada vez más a más infinito, es decir la gráfica irá hacia arriba.
Como se puede ver en la siguiente gráfica:
4º: Asíntotas oblicuas
Una asíntota oblicua sigue la ecuación:
- La recta y = mx+n es una asíntota oblicua por la izquierda cuando:
- La recta y = mx+n es una asíntota oblicua por la derecha cuando:
Para encontrar la recta usaremos las siguientes ecuaciones:
Veamos un ejemplo:
Resolución paso a paso (cualquier duda escribirme al teléfono que tengo en mi perfil y responderé de cuando pueda, ya que me llega el mensaje a mi teléfono):
Os pongo la gráfica:
Cualquier duda o clase que queráis contactadme.
