Resolución de la ecuación ax + by + c = 0 : Parametrización

Los alumnos de ESO y Primero de Bachillerato se han ejercitado en todo tipo de ecuaciones, las lineales, las racionales, las de 2º grado y superiores, las irracionales, los sitemas lineales, los sistemas no lineales, etc. Pero cuando sale una ecuación en la forma, por ejemplo, 2x - y + 3 = 0, tienen poblemas en resolverla, les parece rara, y dicen que no tiene solución. Y es que no han visto, no se ha explicado, no viene en los programas, y por ende en los libros de texto, cómo se resuelven estas ecuaciones, la parametrización de una de las incógnitas.

Pero al llegar la resolución de sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas, y al ponerles un sistema compatible indeterminado, no llegan a las infinitas soluciones, no saben plantearlas. Y es debido a que no lo han visto nunca.

Si queremos resolver la ecuación anterior, vemos que tiene dos incógnitas, por lo que tendremos que poner una en función de la otra.

Así en 2x - y + 3 = 0 implica que 2x = y - 3 implica que x = 1/2 y - 3/2. Y parametrizamos la incógnita y = t, que hace el papel de número real cualquiera.

De esta manera las infinitas soluciones de esa ecuación son x = 1/2 t - 3/2 , t nº real

Dando valores reales cualesquiera a t, vamos obtniendo soluciones.

Así si t = 0 x = - 3/2 , y = 0 es solución pues verifica la ecuación.

t = 1 x = (1/2).(-1) - 3/2 = 1/2 - 3/2 = -1 Es decir x = - 1 , y = 1 que la veriica.

t = - 1 x = (1/2).(- 1) - 3/2 = - 1/2 - 3/2 = - 2 Es decir x = - 2, y = - 1 que la satisface. ..............................................................................................................................

t = 1000 x = (-3/2) .1000 - 3/2 = - 3000/2 - 3/2 = - 3003/2 y = 1000 que la cumple.

Y así obtendríamos todas las soluciones que quisiéramos.

De esta manera, el alumno se familiariza con la parametrización de incógnitas, y no mostrará asombro, y quizás rechazo a los Sistemas Compatibles Indeterminados, como por ejemplo

2x - 3y = 1

4x - 6y = 2

El alumno no tiene dificultad en el intento de resolverlo. Si lo hace por reducción, multiplicando por (-2) la primera ecuación y sumándola con la segunda:

- 4x + 6y = - 2

4x - 6y = 2

0 + 0 = 0 Y aquí ya se para, se asombra, no sabe qué hacer, o mejor dicho comete disparates, como x = 0 y = 0, sin darse cuenta que no verifica al sistema dado, por lo que no puede ser esa la solución.

Tendremos que insistir en que, lo que nos ha salido 0 = 0, es una TRIVIALIDAD, algo que ya sabemos, una verdad, un "cardomomo matemático".

El sistema no lo es tal, pues la segunda ecuación no da nueva información, es la misma que la anterior, por lo que realmente es una sola ecuación con dos incógnitas, y tendremos que parametrizar una de ellas, para obtener las infinitas soluciones de este Sistema Compatible Indeterminado.

O sea que tenemos tan sólo 2x - 3y = 1, y despejamos la x obtenemos x = 3/2 y + 1/2

Parametrizamos la incógnita y, con y = t (nº real) y tendremos la solución del sistema:

x = 3/2 t + 1/2

y = t

Dando valores a t nº reales, obtenemos soluciones, infinitas, que verifican al sistema dado.

Si t = 0 x = 1/2, y = 0

Si t = -1 x = - 1, y = - 1

Si t = 2 x = 7/2, y = 2

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Y así sucesivamente podremos encontrar muchas soluciones, infinitas.

CASO HOMOGÉNEO

Ocurre cuando la ecuación o sistema tiene de término independiente cero.

Es decir, toma la forma ax + by = 0, como por ejemplo 2x - 3y = 0

Si vamos a resolver esta ecuación, la primera solución que salta a la vista es x = 0, y = 0, pues vemos que satisface la ecuación. Es la llamada SOLUCIÓN TRIVIAL, la solución fácil, la inmediata, la simple, la acientífica, la "Solución Cardomómica", es decir la solución que no va a resolver nada.

Ya el Geómetra Santaló(*), nos dice en su libro La Educación matemática hoy: "Podríamos decir que la matemática permite ver las cosas en una segunda aproximación y, con ello, dar a los problemas soluciones no evidentes ni triviales. Éste es un punto sobre el que queremos llamar la atención. Muchos problemas tienen lo que se llama en matemática una SOLUCIÖN TRIVIAL, vale decir, una solución evidente que salta a la vista sin necesidad de esfuerzo ni de tratamiento matemático. A veces, sin embargo, esta solución trivial no es única y uno de los propósitos de la matemática es precisamente el enseñar a descubrir las soluciones no triviales, que suelen ser las más interesantes y útiles, pero que escapan a primera vista y aún a ulteriores miradas de quienes no tienen la necesaria instrucción matemática"

Vamos pues a encontrar más soluciones en la ecuación 2x - 3y = 0

Para ello despejamos la x: 2x = 3y implica que x = (3/2) y. Parametrizamos la incógnita y (variable libre) igualándola a t, nº real cualquiera, y nos queda la solución x = (3/2).t, y = t

Dando a t valores reales cualesquiera, obtenemos las auténticas soluciones distintas de la trivial x = y = 0.

Si t = 1 x = 3/2, y = 1 que cumple la ecuación de partida.

Si t = 2 x = 3, y = 2 que verifica la ecuación de partida.

Si t = - 1 x = - 3/2, y = -1 que satisface la ecuación de partida.

Si t = 0`5 x = 3/4, y = 0`5 que confirma la igualdad de la ecuación.

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Y así sucesivamente, encontraríamos "infinitas" soluciones. Y vemos que también la solución trivial está incluída, si hacemos t = 0.

Se presentan en numerosos problemas de la vida diaria, empezando por el dicho "muerto el perro se acabó la rabia". Si tienes un perro que ha adquirido la rabia, y queremos quitársela, pues la solución trivial es matarlo, y con ello desaparece la rabia del perro; es la solución inmediata, fácil y simplona. Las soluciones no triviales consistirán en encontrar algún medicamento, alguna vacuna, u otra investigación que sane al perro, que serán las auténticas soluciones. Claro está, que encontrarlas requiere preparación, esfuerzo e investigación, que se deja en un segundo plano, pues es más difícil de conseguir.

En palabras de Santaló "Desgraciadamente, las soluciones triviales son las primeras que ve el gran público y, para halagarlo, son aquellas de que más uso hace la propaganda, comercial o política, con el natural perjuicio de muchos gastos innecesarios y poco éxito"

Problema. Un hotel se va a planificar con 130 habitaciones de tres tipos, sencillas, dobles y triples. En total ha de tener 270 camas. ¿Cuántas habitaciones de cada tipo podremos configurar en la planificación?

Respondemos a la pregunta con incógnitas:

Sea x el número de habitaciones simples.

Sea y el número de habitaciones dobles.

Sea z el número de habitaciones triples.

Leyendo el enunciado tenemos: x + y + z = 130 (1)

x + 2y + 3z = 270 (2)

Ya tenemos planteado el sistema (2-3) a resolver. Lo hacemos por Reducción, eliminando la variable x, restando a la (2) la (1). Y nos queda y + 2z = 140. Vemos que tenemos una ecuación con dos incógnitas; parametrizamos la z, haciendo z = t nº real. Entonces nos queda:

y = 140 - 2t, y sustituyendo en (1) x = 130 -(140 - 2t) - t, es decir x = - 10 + t.

Por tanto la solución obtenida es x = - 10 + t, y = 140 - 2t, z = t siendo un Sistema Compatible Indeterminado con "infinitas" soluciones. Pero tenemos que tener en cuenta que todas las incógnitas han de ser números positivos y enteros pues son habitaciones.

Por tanto z = t ha de ser mayor o igual a cero, t >= 0

y = 140 - 2t >= 0, es decir 140 >= 2t, es decir 70 >= t

x = -10 + t >= 0, es decir t >= 10

Y estas tres desigualdades se resumen en que 10 <= t <= 70

Por tanto tendremos 61 soluciones en la planificación del hotel, a saber.

t = 10 x = 0, y = 120, z = 10

t = 11 x = 1, y = 118, z = 11

t = 12 x = 2, y = 116, z = 12

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Y la última solución:

t = 70 x = 60, y = 0, z = 70

Por tanto es necesario, recomendamos para facilitar la comprensión de los alumnos, introducir este tipo de ecuaciones y su resolución en el temario de Ecuaciones de 3º o 4º de ESO.

Este artículo lo dedico a la memoria del insignie Profesor Santaló, al que tuve la suerte de conocer, en el IV Congreso Internacional de Educación Matemática, (IV ICME) celebrado en la Universidad de Berkeley, California en 1980, y ver su entusiasmo por cómo hacer más fáciles las explicaciones de las Matemáticas en la Secundaria, sus métodos y consejos para los que nos dedicamos a esta labor, y la importancia de saber enseñar esta asignatura a edades tempranas.

Los profesores de Matemáticas tenemos que agradecer al Profesor Santaló toda la labor que hizo por la Didáctica de la Matemática, e intentar,- como el dijo al Príncipe de Asturias en la entrega del Premio-, "endulzar el trago amargo que parece resultar para tantos estudiantes y hacer que nadie quede al margen de un lenguaje hoy indispensable".

(*) Luis Antonio Santaló Sors (1911-2001) Matemático español y autoridad mundial en Geometría Diferencial e integral. Premio Príncipe de Asturias de investigación Científica y Técnica.1983.

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