INTRODUCCIÓN
Estudiamos la simetría de puntos, rectas y planos en tres dimensiones. La didáctica que empleamos viene ilustrada, para que los alumnos apliquen el razonamiento en la resolución de estos problemas de Geometría Analítica, y no la simple sustitución de datos en fórmulas memorizadas.
Las simetrías que describimos son:
- Simetría de un punto respecto a otro punto.
- Simetría de una recta respecto a un punto.
- Simetría de un punto respecto a una recta.
- Simetría de un punto respecto a un plano.
- Proyección de un segmento sobre un plano.
1) SIMETRÍA DE UN PUNTO RESPECTO DE OTRO PUNTO
Se trata de hallar el punto simétrico de A, respecto al punto C. Le llamamos A´
A (x1, y1, z1) C ( x2, y2, z2)
Dibujamos dos puntos A y C.
C es el punto medio. Dibujamos el punto pedido A´(x1´, y1´, z1´)
Ocurre que AA´ = 2 AC, que en coordenadas tendremos:
(x1´- x1, y1´- y1, z1´- z1) = 2(x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1). Igualando componentes nos queda:
x1´- x1 = 2 x2 - 2 x1 implica x1´= 2 x2 - x1
y1´- y1 = 2 y2 - 2 y1 implica y1´= 2 y2 - y1
z1´- z1 = 2 z2 - 2 z1 implica z1´= 2 z2 - z1
Ejemplo 1. Hallar las coordenadas del punto simétrico de A (2, 1, - 3) respecto del punto C cuyas coordenadas son C (- 1, 0, 1).
Como AA´= 2 AC tenemos que:
(x1´ - 2, y1´- 1, z1´+ 3) = 2(- 1 - 2, 0 - 1, 1 + 3), e igualando componentes nos quedan las coordenadas del punto simétrico A´( - 4, - 1, 5)
Ejercicio 1. Hallar las coordenadas del punto simétrico de A (-2, 2, 0) respecto del punto C cuyas soordenadas son C (1, 0, 1).
2) SIMETRÍA DE UN RECTA RESPECTO DE UN PUNTO
Dibujamos una recta r, y un punto C fuera de ella. Tomamos dos puntos de la recta r, A y B.
Por el proceso anterior hallamos A´y B´, sus simétricos respecto de C.
La recta simétrica r´, vendrá dada por r´: A´, A´B´
Ejemplo 2. Hallar la ecuación de la recta simétrica de r: x - 1 = (y - 2)/2 = (z + 3)/3, respecto del punto C (2, 1, 3).
Cogemos dos puntos de la recta r: A(1, 2, - 3) y B(2. 4. 0)
Hallamos A´: 2 = (1 + x1´)/2 implica x1´= 3
1 = (2 + y1´)/2 implica y1´= 0 A´(3, 0, 9)
3 = (- 3 + z1´)/2 implica z1´= 9
Hallamos B´: 2 = (2 +x2´)/2 implica x2´= 2
1 = (4 +y2´)/2 implica y2´= - 2 B´(2. - 2, 6)
3 = (0 + z2´)/2 implica z2´= 6
El vector director de r, es A´B´ = (2 -3, - 2 - 0, 6 - 9) = (- 1, - 2, - 3)
Por tanto la recta simétrica r´será: (x - 3)/- 1 = y/- 2 = (z - 9)/- 3
Ejercicio 2 Determinar la recta simétrica de r: x - 1 = y - 2 = z, respecto del origen
3) SIMETRÍA DE UN PUNTO RESPECTO DE UNA RECTA
Dibujamos un punto A y una recta r con su vector director v. Tratamos de hallar A´su simétrico.
Trazamos un plano que pasa por A y es perpendicular a la recta r. Dibujamos su vector asociado n, que será el vector director de la recta v. Es decir Plano: A, n = v
Hallamos el punto C, intersección del plano con la recta r, que será el punto medio de A y A´.
Tan sólo nos queda hallar el simétrico del punto A respecto a C.
Ejemplo 3. Hallar el punto simétrico de A (2, -1, 3) respecto a la recta r, de ecuación:
x - 1 = (y - 2)/2 = z
Tenemos que hallar el punto C, como intersección dela recta r y el plano: A, n = v
n = v(1, 2, 1) El plano será x + 2y + z + D = 0. Como pasa por 2 - 2 + 3 + D = 0, por lo que tenemos que D = - 3, y el plano queda x + 2y + z - 3 = 0
Resolvemos el sistema entre el plano y la recta. Sustituimos la recta en el plano. Ponemos la recta en paramétricas: x = 1 + t, y = 2 + 2t, z = t. la introducimos en el plano:
1 + t + 2(2 + 2t) + t - 3 = 0 implica t = - 1/3 . Lo introducimos en r y tenemos:
C (2/3, 4/3, - 1/3)
Ahora hallamos el simétrico de A respecto a C:
2/3 = (2 + x1´)/2 implica x1´= - 2/3
4/3 = (- 1 + y1´)/2 implica y1´= 11/3 A´(- 2/3, 11/3, - 11/3)
- 1/3 = (3 + z1`)/2 implica z1´= - 11/3
Ejercicio 3. Dada la recta r: (x - 1)/3 = y/2 = z, y el punto A(1, 2, -2), hallar las coordenadas del punto simétrico de A, respecto de la recta dada.
4) SIMETRÍA DE UN PUNTO RESPECTO DE UN PLANO
Dibujamos un plano con su vector asociado n, y un punto, A fuera de él. Trazamos una recta, que pasa por A y es perpendicular al plano. ponemos su vector director, v. Se cortan en el punto C, que será el punto medio de AA´
Es decir C intersección de r: A, v = n y el plano.
Se halla la simetría de A respecto a C.
Ejemplo 4. Hallar el punto simétrico de A (2, 3, 2) respecto al plano de ecuación que tiene de ecuación x - 2z - 3 = 0
Hallamos la recta r perpendicular al plano, pasando por A, con vector director v = n (1, 0, - 2)
x = 2 + t
y = 3
z = 2 - 2t
Calculamos C como intersección del plano con la recta. Para ello sustituimos la recta en el plano: 2 + t - 2(2 - 2t) - 3 = 0 implica t = 1. lo introducimos en la recta y tenemos:
C (3, 3 , 0)
Como es el punto medio de A y A´:
3 = (2 + x´)/2 implica x´= 4
3 = (3 + y´)/2 implica y´= 3 A´ (4, 3, - 2)
0 = (2 + z´)/2 implica z´= - 2
Ejercicio 4 Hallar el punto simétrico se A (0, 1, 2) respecto al plano x - y + z - 1 = 0
5) PROYECCIÓN DE UN SEGMENTO SOBRE UN PLANO
Dibujamos un plano con su vector asociado n, y un segmento AB fuera del plano.
Trazamos una recta r, perpendicular al plano y pasando por A, es decir r: A, v = n
Trazamos una recta s, perpendicular al plano y pasando por B, es decir s: B, u = n
La recta r corta al plano en A´. La recta s corta al plano en B´
A´B´es el segmento proyección.
Conseguimos A´y B´como intersección de r y s con el plano.
proy AB = A´B´= I A´B´I
Ejemplo 5. Hallar la proyección del segmento AB, A(2, 3, 1), B(- 1, 3, 4) sobre el plano de ecuación x - y - z - 3 = 0
Dibujamos un plano, un segmento AB fuera del plano, y las proyecciones perpendiculares de A y B que forman el segmento A´B´buscado-
proy AB = I A´B´I
tenemos que calcular A´y B´
A´: Intersección de el plano con r: A, v = n (1, - 1, - 1). La recta r en paramétricas es:
x = 2 + t
y = 3 - t
z = 1 - t Y sustituyéndola en el plano: 2 + t - (3 - t) - (1- t) - 3 = 0 implica t = 5/3
Lo introducimos en la recta y nos queda A´ (11/3, 4/3, -2/3)
B´: Intersección de el plano con s: B, u = n (1. -1. -1). La recta s en paramétricas es:
x = - 1 + t
y = 3 - t
z = 1 - t Y sustituyendo en el plano: -1 + t - (3 - t) - (4 - t) - 3 = 0 implica t = 11/3
Lo introducimos en la recta s y nos queda B´(8/3, - 2/3, 1/3)
proy AB = I A´B´I = Raiz ( (8/3 - 11/3)^2 + (- 273 - 4/3)^2 + (1/3 + 2/3)^2 = Raiz 6
Ejercicio 5 Hallar la proyección del segmento AB, A(2, 0, 1), B( 1, 2, 2) sobre el plano de ecuación x - 2y + 2z - 11 = 0
SOLUCIONES
Ejercicio 1 A´(4. - 2, 2)
Ejercicio 2 (x + 1)/ -1 = (y + 2)/ - 1 = z/ - 1
Ejercicio 3 A´(13/7, - 10/7, 16/7)
Ejercicio 4 A´(0, 1, 2) Está en el mismo plano.
Ejercicio 5 1/3 Raiz 51.
