En el Programa de Matemáticas de 3º de ESO no viene claramente indicado, la importancia de tres funciones, cuales son La Recta, La Parábola y La Hipérbola.
Resultan ser imprescindibles para las explicaciones de las Funciones a trozos y sus representaciones, para la observación y explicación de la Continuidad y Límites, primero de forma gráfica y después analítica, y la preparación para el estudio y representación de funciones más complejas en cursos posteriores.
En el estudio de las funciones polinómicas de primer grado, Rectas, tan sólo conseguiremos dos puntos de ella para la representación. Nos amparamos en la definición de la recta, y no acostumbramos al alumno a realizar una tabla larga, para la obtención de un montón de puntos, que no sirven más que para dar más probabilidad de errores y al final realizar una "línea quebrada". Se sacará todo el provecho a que da lugar, pendiente, crecimiento, traslaciones, situaciones de paso por cuadrantes, intersecciónes, paralelismo, superposiciones y problemas relacionados con ellas.
La Función polinómica de 2º grado, la Parábola, es otra que debe ser explicada y dominada por los alumnos. Primero relacionándola con situaciones reales donde se presenta, fuentes, trayectorias de balones, tiro oblicuo, beneficios, etc. Ver la imposibilidad de dibujarla si no sabemos dónde está el vértice. Es el punto más importante de la Parábola, que nos servirá de guía y ayuda en la representación. Ahora no nos vale realizar una tabla de obtención de muchos puntos. Es necesario el cálculo del vértice con la fórmula V( (-b/a, f(-b/a)).
Inmediátamente lo representamos y trazamos el eje vertical de simetría, que nos facilitará la representación. Además sabemos, por el signo del coeficiente del término de segundo grado(a), si la parábola tiene ramas ascendentes(+) o descendentes(-).
Nos separamos una unidad del eje de simetría y calculamos su imagen, trasladando el punto al dibujo. A continuación se representa su simétrico, respecto al eje de simetría.
Ya tenemos tres puntos de la Parábola. Para rematarla procedemos de nuevo con el cálculo de otro punto, tomando el valor de x separado dos unidades del eje de simetría. Se representa y también su simétrico. Con estos cinco puntos se dibuja ya la Parábola, procurando no ir cerrando las ramas.
Es interesante hacer ver la forma de cuadrado perfecto y = f(x) = (x-c) cuadrado + d , en la que el vértice es V(c,d). Así las parábolas dadas de esta forma:
y = f(x) = (x-3) cuadrado + 2 tiene el vértice en V(3,2) y las ramas ascendentes( a=1)
y = f(x) = -(x + 2) cuadrado + 4 tiene el vértice en V(-2,4) y las ramas descendentes( a=-1)
Podemos comprobar, desarrollando el cuadrado, ordenando y aplicando la fórmula del vértice, que nos sale lo mismo.
Se estudian los puntos de corte con los ejes, de manera analítica y el crecimiento, extremos y curvatura de manera visual, dejando el estudio analítico para cuando el alumno tenga la herramienta de la Derivada.
Son numerosos los problemas de aplicación en Economía, donde se emplea la Parábola, como la función beneficio, y conjuntamente con la de costes e ingresos, con intersecciones de Rectas y Parábolas y puntos de ruptura.
La tercera función a dominar es la de proporcionalidad inversa, la Hipérbola, y en su manera más sencilla, y = f(x) = 1/x y = f(x) = 1/(x -1),,,,, nada de y = f(x) = (x-2)/(x+3)...que requieren otras herramientas que se verán en otros cursos.
En la representación de esta función es imprescindible el cálculo del Dominio de Definición o Campo de Existencia de ella. Al igualar a cero el denominador y resolver la ecuación resultante, obtendremos el punto(s) dónde NO existe, y por ende dónde existe, su Dominio. Pues bien, se representa a trazos la línea vertical dónde no existe, donde no podemos dibujar sobre él un punto de la Hipérbola. Y esta línea(asíntota) nos servirá de guía para representarla.
Tomamos el valor de x separado una unidad positiva de esa línea(asíntota) y calculamos su imagen. Lo representamos. Tomamos x una unidad menos con respecto a la asíntota, y dibujamos el punto. Ya se puede ir observando la simetría con relación a un punto. Con el mismo método dibujamos otros dos puntos, y hacemos ver qué ocurre si la x avanza mucho en positivo y en negativo, para hacer notar la asíntota horizontal.
Se hacen ver las traslaciones sobre el eje de las x , por comparación de gráficas f(x) = 1/(x-1), f(x) = 1/(x-2), etc, también el estudio visual, que no analítico, que se verá en siguientes cursos con la herramienta del Límite.
Con el dominio gráfico de estas tres funciones elementales, podemos pasar a la construcción de Funciones a Trozos, en las que en los diferentes intervalos o zonas aparecen ellas.
Así dejaremos las bases bien cimentadas, para posterior estudio Analítico de Límites, Continuidad y Derivabilidad en cursos superiores.
