Area del recinto limitado por la curva y=x*e^-x , el eje OY y la ordenada correspondiente al punto MÁXIMO de la curva.

Hola Sandra. Primero vamos a calcular la integral definida de la función dada hallando previamente los límites de integración. Uno de ellos ya lo tenemos porque el eje OY tiene como abscisa x=0. Nos falta determinar el segundo. Para ello hallamos las coordenadas de ese máximo de la curva. La primera derivada es f'(x)=e^-x(1-x) que igualándola a cero determina un punto singular en x=1. La segunda derivada es f''(x)=e^-x(x-2) por lo que f''(1)=-1/e<0 por lo que efectivamente existe un máximo de la función en el punto (1,1/e). La ordenada del punto la hemos obtenido sustituyendo el valor x=1 en la función dada. Ya sabemos que los límites de integración son 0 y 1. Hallamos la integral definida entre 0 y 1 de f(x)=xe^-x. La integral indefinida es -e^-x(x+1). Calculando la integral definida tendremos que es 1-2/e u. Este área calculada es el área por debajo de la curva dentro de un rectángulo de base entre x=0 y x=1 y altura entre y=0 e y =1/e. Su área es 1*1/e=1/e u. El ejercicio nos pide el área, dentro de dicho rectángulo pero por encima de la curva. Por tanto nos bastaría restar al área del rectángulo el área anteriormente calculada por debajo de ella: (1/e)-(1-2/e)=3/e-1 u., aproximadamente Area=0'104. Espero haberte sido de ayuda.