¿Cómo se calcula el determinante de una matriz?

Hola el determinante de una matriz 3 por 3, lo tienes que calcular por la regla de sarrus , te pongo un ejemplo 123 456 113 matriz positiva sería (1.5.3 +6.2.1+1.4.3)- matriz negativa(1.5.3+4.2.3+6.1.1) ya tenemos sarrus, ahora calculamos (15+12+12) -(15+24+6)= 39-45= -6 ese sería el det de la matriz, a partir de ahí si tuviéramos que calcular la inversa, si el determinante nos da cero no hay inversa, si nos da distinto de cero sí, y la podríamos hacer por adjuntos o por Gauss- Jordan, espero que lo hayas entendido.-

Sea A la siguiente matriz 2×2: 1 2 3 4 Entonces su determinante sería: det(A) = 1×4 - 2×3 = -2 Para una matriz 3×3 a la que llamaremos B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 el cálculo es similar: det(B) = =1×5×9 + 4×8×3 + 2×6×7 - 3×5×7 - 6×8×1 - 2×4×9 = 45 + 96 + 84 - 105 - 48 - 72 = 0

Pues dependerá del orden de la matriz (nxn): si n es 2, se multiplicarán los términos de la diagonal principal y al resultado se le restará el resultado de multiplicar los términos de la diagonal secundaria. si n es 3, se emplea sarrus que para ello siempre será mejor que lo veas escrito en modo matriz y ver su desarrollo poco a poco. si n es de orden superior puedes hacer varios métodos, o bien triangular la matriz (hacer todos los términos por debajo o por encima de la diagonal principal ceros) por medio de Gauss, y multiplicar la diagonal principal, o menos complementarios, o Chio para disminuir el orden del determinante. Escrito queda un pelín complejo, pero por youtube hay miles de ejemplos, y si no siempre es mejor que hagas algunos con alguien que te lo muestre en vivo :D

El cálculo del determinante es en general un problema algorítmico de alta complejidad para tamaños de matrices > 6. Las respuestas anteriores ya te han dado ideas de diversas formas de como calcularlo para matrices pequeñas. El determinante sirve para saber téoricamente si una matriz es sigular, que no tiene inversa y por lo tanto el sistema de ecuaciones asociado no tendra solución. Esto sucede cuando det(A)=0 en Ax=b. Los métodos manuales que usan determinantes para resolver sistemas de ecuaciones son una simple curiosidad matemática ya que son inservibles para sistemas grandes. Para resolver este tipo de sistemas grnades de ecuaciones lineales existen diversos métodos númeriocos o algortimos que se implementan en computadora tales como, eliminación gaussiana, jacobi, gauss-seidel, etc

No es fácil responderte en palabras. Te diré que si es de orden 2 se calcula restando el producto de los números de las diagonales. Y que si es de orden mayor de 2 puedes emplear el método de los menores adjuntos complementarios, que consiste en escoger una fila o columna y multiplicar cada uno de sus elementos por el determinante formado por los elementos que no están ni en su fila ni en su columna