Si podemos ver la gráfica de una función, observaremos fácilmente dónde alcanza Máximos y Mínimos relativos. ¿Y si nos dan la función analíticamente, y = f(x)?. La solución trivial es la respuesta, "pues la representamos y asunto concluso". Pero si la función es algo compleja, no la podremos representar, o nos emplearía tiempo en construirla, dando muchos valores a la x e ir obteniendo los correspondientes de la y. Pero los puntos notables de la curva no lo sabremos, con lo cual la dificultad de representación se acentua.
La Derivada de la función nos dan la clave; es una de las herramientas más potentes del llamado Análisis Infinitesimal.
La Derivada de una función en un punto de la curva, nos da la pendiente de la curva en ese punto, que será la pendiente o inclinación de la recta tangente a la función en ese punto.
Si imaginamos la trayectoria de un misil tierra-tierra, es parabólica. Alcanza un máximo absoluto. Y si construimos una recta tangente en ese punto, ¿cuál será su pendiente o inclinación? Fácilmente se intuye que es horizontal, su pendiente es cero. Pues empezamos a tener ya la clave para encontrar ese punto.
Por todo lo anterior, la Derivada de la función en ese punto es cero: y´= 0 Es la condición necesaria.
Nos resulta una ecuación que al resolverla nos da el valor(es) de la x , que tiene la posibilidad de ser extremo. Son los candidatos.
Pero también puede suceder que ocurra un mínimo(no en el caso del misil).
Por eso tenemos que establecer otra condición, la suficiente. Nos la da la Derivada segunda de la función(y´´). La hallamos y particularizamos para el(los) candidato.
Si y¨(candidato) es mayor que cero, habrá un Mínimo en ese candidato.
Si y´´(candidato) es menor que cero, habrá un Máximo en ese candidato.
EJEMPLO 1. Hallar los extremos relativos de la función y = f(x) = (1/3) x^3 - x^2
1) Hallamos y´= (1/3).3 x^2 - 2x = x^2 -2x La igualamos a cero y resolvemos:
x^2 - 2x = 0 implica x.(x - 2) = 0 implica x = 0 , x = 2 Candidatos
2) Se halla la y´´ = 2x - 2 Y se particulariza en los candidatos:
y´´(0) = 2.0 - 2 = -2 menor que cero, por tanto Máximo en (0, f(0)) = (0.0)
y´´(2) = 2.2 - 2 = 2 mayor que cero, por tanto Mínimo en (2, f(2)) = (2, -4/3)
EJEMPLO 2. Hallar los extremos de la función y = f(x) = 1/x
1) Hallamos y´= -1/ x^2 La igualamos a cero y resolvemos:
-1/ x^2 = 0 implica -1 = 0. x^2 implica 1 = 0 ABSURDO, no se encuentran Candidatos. Por tanto esta función no tiene ni Máximos ni Mínimos reñlativos.
EJEMPLO 3. Hallar los extremos relativos de la función y = f(x) = x / (x^2 +1)
1) Hallamos y´= (x^2 + 1 -2 x^2) / (x^2 + 1)^2* = - x^2 + 1 / (x^2 + 1)^2
La igualamos a cero - x^2 + 1 / (x^2 + 1)^2 = 0 implica - x^2 + 1 = 0, de donde x = 1 y x= -1 Candidatos.
2) Se halla la y´´ = -2x (x^2 + 1)^2 - 2(x^2 +1) 2x (- x^2 + 1) / (x^2 + 1)^4 **
Tenemos que Simplificarla**. Para ello lo primero que hacemos, antes de empezar a desarrollar, es ver si hay en todo el numerador y en el denominador, algún paréntesis igual, para eliminarlo. Si nos fijamos , (x^2 + 1) está en todo, por lo que nos queda y´´ = -2x(x^2 + 1) - 4x / (x^2 +1)^3 y ahora desarrollamos sólo el numerador, y nos queda:
y´´ = -2 x^3 - 2x + 4 x^3 - 4x / (x^2 + 1)^3 = 2 x^3 - 6x / (x^2 +1)^3
Particularizamos en los candidatos y´´(1) = 2 - 6 / 8 menor que cero Máximo en (1, 1/2)
y´´(-1) = -2 +6 / 8 mayor que cero Mínimo en (-1, -1/2)
De esta manera, sin ver la función, sin representarla, sabemos y con total exactitud, en qué puntos de la función se produce un Máximo y un Mínimo relativo. ¡Maravillas del Análisis!
* La simplificación es necesaria, y los alumnos encuentran dificultad en hacerla.
** Esta simplificación pocos alumnos la consiguen de entrada.
