Una Progresión Geométrica es una sucesión de números reales, de tal manera que cada término se obtiene del anterior, multiplicándolo por una constante llamada razón de la progresión.
Así 2, 6, 18, ........ es una P.G. cuya razón r = 3
¿Y cuál será el termino que ocupa el lugar 12, a12? Para ello tenemos que saber el término general de una PG: an = a1. r elevado (n-1)
Entonces a12 = 2, 3(elevado 11) = 2. 2048 = 4096
¿Y cuál será la suma de los 10 primeros términos? Para ello tenemos que conocer la fórmula de la Suma de n términos consecutivos Sn =( a1. r(elevado n)) - a1) / r -1
Así S10 = (2. 3(elevado 10)) - 2) / 2 =( 2. 59049) - 2) /2 = 59048
El problema de la rana saltarina.
Una rana se encuentra en el centro de un estanque circular de 1m de radio. Quiere llegar a tierra firme, por lo que empieza a dar saltos indefinidamente, así: Primer salto 0,5 m; segundo salto 0,25m; tercer salto 0,125m, y así sucesivamente sin parar (debe ser una rana a pilas..). ¿Llegará a tierra firme?
Se trata de una PG 0,5 0,25 0,125, ..... de r= 0,5 El número de saltos es "infinito", por lo que r elevado a infinito = 0,5 elevado infinito, que tiende a cero.
Nos queda la fórmula de S infinito = - a1 / r-1 = - 0,5/ - 0,5 = 1 m Por tanto, por mucho que salte de esa forma, nunca llegará a tierra firme.
La recompensa al inventor del ajedrez.
Se dice que en época muy antigua el inventor del ajedrez se lo regaló a su rey, y éste maravillado por tan ingenioso juego, le concedería lo que le pidiera. El inventor tan sólo pidió un grano de trigo por la 1ª casilla, dos por la 2ª, 4 por la 3ª y así sucesivamente hasta la casilla 64 de que consta el tablero del ajedrez. Los cortesanos y consejeros del rey se mofaron del inventor por lo poco que le pedía al rey. Pasaron los días y el rey pidió a sus consejeros el cálculo de el número de granos:
Es una P. G, 1, 2, 4, 8, ......de r = 2 Y la suma de los 64 primeros términos será:
S64 = 1 .2(elevado a 64) -1/ 1 = 1844674407000000000 granos.
Ni la producción mundial anual es capaz de abastecer tal cantidad. El modesto inventor lo que le pedía es todo el reino.
