Como profesor de matemáticas, voy a hablaros sobre los sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. Los sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, se clasifican en:
- Compatible determinado: Una única solución.
- Compatible indeterminado: Infinitas soluciones.
- Incompatible: No tiene solución.
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Métodos de resolución de dos ecuaciones lineales
- Sustitución: Se despeja una incógnita de una de las ecuaciones y se susttituye en la otra.
- Igualación: Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones, y se igualan.
- Reducción: Se elimina una de las incógnitas sumando o restando las dos ecuaciones.
- Gráficamente: Se representan las dos rectas y se observa si se cortan (Compatible determinado), si están superpuestas (Compatible indeterminado), o si son paralelas ( Incompatible)
Veamos un ejemplo de cada tipo.
1. Resolver el sistema x - y = 4
x + y = 0
Lo vamos a resolver por Sustitución. Despejamos la x en la 1ª: x = 4 + y Lo sustituimos en la segunda ecuación 4 + y + y = 0 implica 4 + 2y = 0 implica 2y = -4 implica y = -2. Ahora calculamos la x susttituyendo en la primera, por ejemplo, x -(-2) = 4, por tanto x = 2 .
Por tanto, la solución es x = 2, y = -2 Vemos que si lo sustituimos en el sistema dado se verifica. Es un Sistema Compatible Determinado.
2. Resolver el sistema x - 4y = 2
2x - 8y = 4
Lo vamos a resolver por Igualación. Despejamos x en la primera x = 2 + 4y Despejamos x en la segunda, 2x = 4 + 8y implica x = (4 + 8y) / 2 . Ahora las igualamos y nos queda: 2 + 4y = (4 + 8y) /2. Despejamos la y, 4y = (4 + 8y / 2 - 2 implica 4y = 2 + 4y - 2 implica que 4y = 4y, implica que 4y - 4y = 0, implica que 0 = 0 Nos sale una TRIVIALIDAD.
Esto nos quiere decir que el sistema dado, no es un tal sistema, sino una sola ecuación con dos incógnitas. Si observamos la segunda ecuación dada, es la misma que la primera multiplicada por dos; no nos da nueva información.
Por tanto, el sistema se reduce a sólo x - 4y = 2. Tenemos que poner una incógnita en función de la otra, a saber: x = 2 + 4y Dando valores cualesquiera a y, obtenemos muchas soluciones. Si y = 1 x = 2 + 4 = 6 Si y = 0, x = 2 - 0 = 2 Y así podemos obtener infinitas soluciones que verifican al sistema dado. A la y se le llama parámetro. El sistema es Compatible Indeterminado.
A los alumnos les resulta extraño este tipo de sistemas, pues habitualmente resuelven sistemas compatibles determinados, con una y solo una solución. Pero en la vida real este tipo de sistemas abunda mucho.
- Resolver el sistema. 3x + 2 y = 4
6x + 4y = 2
Lo vamos a resolver por Reducción. Intentamos eliminar una de las incógnitas, por ejemplo la x. Para ello multiplicamos la primera ecuación por (-2) y nos queda -6x - 4y = -8. Ahora sumamos las dos ecuaciones miembro a miembro:
-6x - 4y = -8
6x + 4y = 2
0 + 0 = -6 que es ABSURDO, esto nos dice que el sistema dado no tiene solución, es Incompatible.
Por tanto, hemos visto los tres tipos de sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas, resueltos de forma analítica por los tres métodos.
Resolución gráfica Consiste en representar, en unos ejes de coordenadas cartesianas, las dos ecuaciones, que son rectas. Paralelo, con una recta queda definida con tan solo dos puntos, damos dos valores a una de las incógnitas y hallamos el valor que toma la otra.
Así, en el primer sistema x - y = 4 (1)
x + y = 0 (2)
En la primera recta (1), tenemos:
Si y = 0 entonces x = 4. Punto (4, 0)
Si x = 0 entonces y = -4 Punto (0, -4)
Y procedemos a representar la recta (1)
En la segunda recta (2), tenemos:
Si y = 0 entonces x = 0 Punto (0, 0)
Si y = 1 entonces x = -1 Punto (1, -1)
Y procedemos a representarla en los mismos ejes coordenados. Observamos que las dos rectas se cortan en un punto, el P(2, -2) que es la solución que obtuvimos analíticamente. Las rectas son secantes. Sistema Compatible determinado.
Segundo sistema x - 4y = 2 (3)
2x - 8y = 4 (4)
En la recta (3) tenemos:
Si x = 2 entonces y = 0 Punto (2,0)
Si x = 6 entonces y = 1 Punto (6, 1)
Con estos dos puntos representamos la recta (3)
En la recta (4) tenemos:
Si x = 2 entonces y = 0 Punto (2, 0)
Si x = 6 entonces y = 1 Punto (6, 1)
Vemos que nos salen los mismos puntos, es decir, las rectas están Superpuestas. Habrá infinitas soluciones, todos los puntos de la recta. El sistema es Compatible indeterminado.
Tercer sistema 3x + 2y = 4 (5)
6x + 4y = 2 (6)
En la recta (5) tenemos:
Si x = 2 entonces y = -1 Punto (2, -1)
Si x = 0 entonces y = 2 Punto (0, 2)
La representamos con esos dos puntos.
En la recta (6) tenemos:
Si la x = 1 entonces la y = -1 Punto (1, -1)
Si la x = -1 entonces la y = 2 Punto (-1, 2)
Representamos la recta (6), y vemos que son paralelas, no tienen ningún punto en común, no hay solución. El sistema es Incompatible.
Son las distintas formas de resolver estos sistemas, y las diferentes soluciones que pueden salir. Tienen muchas aplicaciones que veremos en un próximo artículo.
