INTRODUCCIÓN
Como profesor de matemáticas, voy a hablaros sobre las inecuaciones lineales con dos incógnitas. Una inecuación lineal con dos incógnitas consiste en una desigualdad entre dos incógnitas y de forma lineal.
Así, y < 2x +1, y > - 3x + 4, 2y - x >= 0, (3y - 1) / 4 <= 1, x + y > 0, 1/3 x - 4y < 2x son inecuaciones lineales con dos incógnitas.
Si consideramos varias inecuaciones, tendremos un sistema de inecuaciones.
Empezar con las clases particulares
RESOLUCIÓN DE LA INECUACIÓN
Se realiza de manera gráfica. Para ello se representa la recta (solo con el signo igual). Y se busca la región que corresponde a la desigualdad.
Ejemplo 1. Resolver y - x < = 0
Para ello aislamos la y < = x. Representamos la recta y = x, con solo dos puntos. Si x = 0 y = 0 Punto (0,0). Si x = 1, y = 1 Punto (1,1). Trazamos la recta que pasa por esos dos puntos, que es la bisectriz del primer y tercer cuadrante. Al aislar la y, vemos que tenemos la desigualdad <=, por lo que la región solución es la correspondiente inferior a la recta y ella también. Todos los puntos sobre la recta y los que están por debajo de ella son soluciones.
Ejemplo 2. Resolver 2x - 4y > 1
Aislamos la y 2x > 1 + 4y, implica 2x - 1 > 4y (2x - 1) / 4 > y. Lo podemos poner también de la forma y < (2x - 1) / 4.
Ahora representamos la recta y = (2x - 1) / 4. Si x = 0 y = - 1/4. Punto (0. - 1/4) Y damos otro valor a la x = 1 y = 1/ 4. Punto (1, 1/4).
Como tenemos y < (recta), las soluciones son todos los puntos de la región por debajo de la recta.
Ejemplo 3. Resolver (3x - y) /2 >= 2x + 1
Aislamos la y: 3x - y > = 4x + 2, implica - y >= 4x - 3x + 2, implica - y >= x + 2. Y ahora o bien pasamos la y al segundo miembro, o multiplicamos por (- 1), teniendo en este caso, que cambiar la desigualdad. Optamos por el primero y nos queda - x - 2 >= y, es decir y <= - x - 2.
Ahora representamos la recta y = - x - 2. Si x= 0, y = - 2. Punto (0,- 2). Si x = 1 y = - 3 y tenemos otro punto, el P(1.- 3). Representamos la recta como y <= - x - 2, la solución será la propia recta y todos los puntos de la región por debajo de ella.
Ejercicio 1. Resolver 4x + y <= (3x - 1) / 3
SISTEMAS DE INECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS
Ahora se trata de resolver varias ecuaciones, y la solución ha de verificar a todas y cada una de las inecuaciones que forman el sistema. El método es el mismo que el anterior, para cada una de las inecuaciones.
Ejemplo 4. Resolver el sistema de inecuaciones:
- x - y <= 1
- y >= - x
- 3x - y - 3 <= 0
Primera inecuación(1). Aislamos la ordenada - y <= - x - 1, implica y <= x + 1.
Representamos la recta y = x + 1, y la solución es la propia recta y la región inferior a ella.
Segunda inecuación(2). Ya viene aislada la y. Representamos y = - x. Y la solución de esta inecuación será la propia recta y la región por encima, pues y >= - x
Se va sombreando las dos regiones.
Tercera inecuación(3). Aislamos la y: - y <= 3 - 3x. implica y >= 3x - 3. Representamos la recta y su solución o región por encima de la recta, incluyéndola.
Entonces la región solución será la intersección, lo común a las tres regiones, que será una zona triangular cerrada de vértices A (- 1, -1), B (2,3) y C (1/2,- 1/2).
Ejemplo 5. Resolver
- y <= - 2x + 5
- 1/2 x + 2 >= y
- y >= - 2
En la primera inecuación representamos y = -2x + 5 con los puntos (0, 5) y (1, 3). Y la solución será la región por debajo de la recta y ella misma.
En la segunda inecuación, y<= 1/2x + 2. Representamos la recta y = 1/2x + 2 con los puntos (0,2) y (2,3). La solución es la región que incluye a la recta y por debajo de ella…
La tercera inecuación y >= - 2,es la región por encima de la recta y = - 2
La solución es una región abierta con 2 vértices. (Ver figura)
Ejercicio 2 Resolver el sistema
- x + y <= 4
- x - 3 <= 0
- x >= 0, y >= 0
ALGUNAS APLICACIONES
Ejemplo 6. El Departamento de Acechos de La Agencia, pone en vértices de la región cerrada, dada por el sistema de inecuaciones, a cuatro de sus mejores Agentes, a saber: AG "Ósmosis", AG "Intuición", AG "Mondoñedo" y AG "Riqui-Raca", con el fin de supervisar la zona de la posible infiltración de algún Recontra, pues su Sede Cental se halla en el origen de coordenadas. ¿Dejará algún punto vértice sin cubrir?
4x + 5y <= 20
y - 4 <= 0
x >= 5
y + 2 >= 0
x - y <= 5
Primera inecuación: Aislamos la y, obteniendo y <= - 4/5 x + 4. Representamos la recta con los puntos (0, 4) y (5, 0) Y la región incluye esta recta y toda la zona inferior a ella.
Segunda inecuación: Nos queda y <= 4. La recta y = 4 es paralela al eje OX, pasando por el punto (0, 4). Y la región inferior expresa la inecuación, incluyendo a la recta.
Tercera inecuación: La recta x = 4 es paralela al eje OY, pasando por (- 4, 0). La región incluye a esta recta y hacia su derecha.
Cuarta inecuación: Aislando la y nos queda y >= - 2. la recta y = -2 es paralela al eje ox, pasando por (-2, 0)
Quinta inecuación: Aislando la y, nos queda y >= x - 5. Representamos y = x - 5, con los puntos (0, - 5) y (5, 0). La región la incluye y su zona superior. (ver figura)
Por tanto, tenemos los vértices O(3, -2) donde situamos al AG "Osmosis", M(4, 0) y posicionamos ahí al AG "Mondoñedo", I(0, 4) donde se situa el AG "Intuición", R(- 5, - 2) haciendo vigilancia el AG "Riqui-Raca". Vemos que el vértive D(-5, 4) queda sin cubrir, por lo que hay que poner a otro Agente, que creemos conveniente sea AG "Doble", por su capacidad demostrada de intercepción de Contra-rembolsos del Recontra.
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Ejercicio 3. La Agencia quiere invertir en pertrechos una cantidad de 500€. Se forma una comisión dirigida por el Agente "Doble" y formada por los Agentes "Tambor", "Noray", "Elvis" y "Departamentos". Los pertrechos son Insignia ornamental y placa de Agente. El AG "Tambor" opina que se debe invertir el doble en placa que en insignias. El AG "Noray" dice que a partes iguales. El AG "Elvis" quiere que se dedique a insignias por lo menos un tercio del montante, y el AG "Departamentos" dice que la inversión en placas ha de ser menor o igual a la de insignias mas 100. Los Agentes empiezan a opinar y discutir. El AG "Doble" interviene, con la maestría que le es habitual, diciendo que hay que buscar la región que satisfaga a todos los Agentes. Se pide encontrarla, si existe dicha región factible y los puntos vértices.
Estas zonas, delimitadas por rectas, se denominan Regiones factibles e intervienen en la llamada Programación Lineal, con muchisima aplicación en economía, donde se quieren optimizar beneficios, con recursos empresariales limitados. Será objeto de otro artículo.
SOLUCIONES
Ejercicio 1. Recta y <= - 3x - 1/3 y región debajo de ella.
Ejercicio 2. Zona cuadrilátera de vértices (0,0), (3,0), (3,1), (0,4), incluidas las fronteras.
Ejercicio 3. Zona pentagonal con vértices (0,0), (0,100), (200/3 ,500/3), (500/3, 500/3) (500,0), incluyendo los puntos fronteras.
