La integral de una función como operador para el cálculo de Superficies

   La integral de una función f(x), es otra función F(x), tal que si derivamos F(x) obtendremos f(x). 

  A  F(x) se le llama primitiva de f(x)

   Esto se consigue con métodos de integración, algunos muy laboriosos; también hay integrales fáciles de resolver, son las llamadas Inmediatas.

   Así si:        f(x) = x          F(x) = x ^2 / 2   ocurriendo que   F´(x) = x 

                     f(x) = 3          F(x) = 3x          ocurriendo que   F´(x) = 3

                     f(x) =  x^2     F(x) = x^3 / 3    ocurriendo que   F´(x) = x^2

                    f(x) = 1/x        F(x) = ln x         ocurriendo que   F´(x) = 1/x

   Veamos cómo podemos hallar áreas de recintos limitados por curvas, donde no tenemos fórmulas para conseguirlas, pues no son figuras geométricas tales como cuadrados, rectángulos, triángulos, trapecios, etc

   Si queremos hallar la superficie del recinto limitado por la función y = f(x) = x^2, el eje OX, en el intervalo cerrado 1 y 2, procederemos así:

   Tenemos una finísima loncha del recinto, de base dx  con altura y. Entonces la superficie de este "rectángulo" será el producto de la base por la altura, es decir:

                                                                    ds = y. dx

   Si sustituimos la  y = x^2,  tendremos     ds = x^2 .dx

   Ahora sumamos todas las lonchas entre el intervalo pedido:

                         A = S(x^2.dx), interpretando la S como la integral entre 1 y 2 

                         A = x^3 / 3 entre 1 y 2 

   Aplicando la regla de Barrow de sustituir el límite superior y restarle el inferior, tenemos:

                         A =( 2^3 - 1^3)/3 = (8- 1)/3 = 7/3 = 2,4 unidades cuadradas

   Veamos para el caso de hallar el área de un triángulo de base 4 y altura 4. Su área, por la fórmula  A = b.h/2 = 4.4/2 = 16/2 = 8 u.c.

   Y por integración, tendremos y = x, diagonal del primer cuadrante

                         A = S( y.dx ) entre 0 y 4 = S(xdx) entre 0 y 4  = x^2 / 2  entre 0 y 4 =

                               = 4^2  /2 - 0^2 / 2 = 16/2 - 0 = 8 unidades cuadradas

   Por tanto con integración, podemos calcular áreas de recintos cerrados limitados por funciones.

   Así, el área del recinto limitado por las funciones:

                                      y = f(x) = - x^2 + 4x - 1

                                      y= g(x) = x^2 - 4x + 5 

        A = S (g(x) - f(x)) dx  en el intervalo cerrado de extremos 1  y  3, que son los valores de la x donde se cortan las dos parábolas.

        A = S ( -2 x^2 + 8x - 6) dx     entre 1 y 3  = -2/3 x^3 + 4 x^2 - 6x  entre 1 y 3 = 8/3 uc