Las Matrices y Determinantes en el Álgebra Lineal

MATRICES

Una Matriz es una serie de filas y columnas de números reales, ocupando cada uno una posición. Son los elementos de la matriz.

De esta manera las Matrices tendrán un cierto número de filas y de columnas, que constituyen el Orden de la matriz.

Así tendremos matrices M 3x2, de tres filas y dos columnas. Es una matriz rectangular

Ejemplo 1.

2 3

- 1 0

1 1

Ejercicio 1 Escribir una matriz: a) Cuadrada. b) De orden 1 x 3 c) De orden 1 x 1

Como casos particulares, cabe resaltar:

La Matriz Cero, cuyos elementos son todos ceros. Desempeña el papel de elemento neutro en la suma de matrices.

La Matriz Identidad ( I ), es una cuadradra, en cuya diagonal principal vienen unos, y los demás elementos son ceros.

Ejemplo 2 La matriz identidad de orden 3 es:

1 0 0

0 1 0

0 0 1

Esta matriz desempeña el papel de elemento neutro en la multiplicación.

Posicionamiento de los elementos de una Matriz

Se suelen nombrar por una a con dos subíndices; el primero delata la fila y el segundo la columna. Así a1,3 será un elemento que se encuentra en la Fila 1 y la Columna 3.

Ejercicio 2 Dada la matriz

1 0 2 -1

-2 4 3 5

-3 6 -4 7 Se pide: a1,3 a2,4 a3,2

Ejemplo 3. Los 40 Agentes de que consta la Sede Central de la Agencia, se clasifican por sus misiones de Acecho, Investigación y Logística, y sus sedes asociadas, dados por la matriz A de orden 3x5:

Madrid Gran Canaria Lanzarote Tenerife Fuerteventura

Acecho 0 5 1 5 0

Investigación 1 12 0 8 0

Logística 1 4 0 2 1

El número de Agentes conejeros dedicados al acecho es cero.

Los Agentes dedicados a la Investigación son 1 + 12 + 0 + 8 + 5 = 26

El número de Agentes chicharreros especialistas en Logística es 2.

Los Agentes majoreros especialistas en Acechos es 1.

El número de Agentes de Las Palmas es 5 + 12+ 4 + 1 + 1 = 23.

DETERMINANTE DE UNA MATRIZ CUADRADA

Supongamos la matriz C 3x3, de casos resueltos por los Agentes y en los sitios que se mencionan:

AG "Elvis" AG "Ósmosis" AG " Noray"

Fuente Dé 2 1 0

Cabuérniga 1 0 1

Piquío 1 1 3

El determinante de esta matriz C, que escribimos ICI o bien det C, es un número real, resultado de hacer la siguiente operación "diagonalizada":

det C = 2.0.3 + 1.1.0 + 1.1.1 - ( 0.0.1 + 1.1.2 + 3.1.1) = 1 - 2 - 3 = - 4

Regla nemotécnica: Para verlo mejor, es conveniente complementar la matriz con las dos primeras filas escritas abajo.

Ejercicio 3. Los SuperAgentes "Mondoñedo", "Ósmosis", "Intuición y "Riqui.Raca", han resuelto casos farragosos, indicados por la matriz C, y en esas localidades:

AG "Mondoñedo" AG "Ósmosis" AG "Intuición" AG "Riqui-Raca"

Vélez- Málaga 2 0 0 0

Telde 1 0 3 1

Berrazales 0 1 0 4

Madrid 2 3 1 5 Se pide:

a) Orden de la matriz C.

b) Elementos a1,3 a3.4 a4,4

c) Número de casos resueltos en Madrid.

d) Número total de casos resueltos.

e) ¿Qué Agente ha resuelto más casos?

f) Consideramos la primera submatriz de orden 3 x 3, resultado de suprimir la cuarta fila y columna (se le llama matriz adjunta del 5. Hallar su determinante.

g) Hallar la matriz adjunta del elemento a 3,2.

h) Hallar el determinante de la matriz anterior.

Ejercicio 4 Dada la matriz A 4 x 2 de titulaciones y profesiones de Agentes:

Funcionarios Empresarios

Ingenieros de Caminos 9 4

Ingenieros industriales 1 4

Farmacéuticos 0 3

Físicos 3 0

Se pide:

a) Matriz adjunta del elemento a2,1

b) Determinante formado por las dos primeras filas.

c) Determinante formado por las filas 1 y 3.

d) ¿Hay algún determinante de orden 2 que sea cero?

MENOR COMPLEMENTARIO DE UN ELEMENTO

Se llama así, al determinante que resulta de suprimir la fila y la columna donde se encuentra el elemento.

Ejemplo 4. Dada la matriz A

1 3 -1

0 1 2

-2 0 -3

El menor complementario del elemento a 2,3 = 2 es el det. formado al suprimir la fila 2 y la columna 3, es decir:

1 3

-2 0 que desarrollado nos da 6.

El menor complementario del elemento -3, es el determinante:

1 3

0 1 que vale 1

Las matrices han de ser cuadradas.

Ejercicio 5. Dada la matriz A , hallar todos su menores complementarios..

1 -5

2 3

ADJUNTO DE UN ELEMENTO

Es su menor complementario, precedido de (- 1)^(i + j) siendo i la fila y j la columna del elemento.

Ejemplo 5. Dada la matriz

2 -1 0

3 1 2

0 0 1

Vamos a calcular los adjuntos de cada elemento:

a1,1 Suprimimos su fila y su columna, quedando un determinante de orden 2 que desallollado nos da 1. Veamos el signo: (-1)^(1 + 1) = 1 (positivo. por tanto a1,1= 1

a1,2 = -3, a1,3 = 0, a2,1 = -(-1) = 1, a2,2 = 2, a2,3 = 0, a3,1 = 2. a3,2 =-(-4) = 4. a3,3 = 5

Ejercicio 6 Hallar todos los adjuntos de la matriz:

0 2 1

-1 1 0

2 2 -1

MATRIZ ADJUNTA

Como su propio nombre indica, es aquella que está formada por los adjuntos de los elementos de la matriz dada A. Se representa por adj A.

Ejemplo 6. Hallar la matriz adjunta de A :

1 0 -1

0 2 0

-2 1 0

Hallamos los adjuntos de cada elemento:

a1,1 = 0, a1,2 = 0, a1,3 = 4, a2,1 = -(-1) = 1, a2,2 = -2, a2,3 = -1, a3,1 = 2, a3,2= 0, a3,3 = 2. Por tanto nos queda adj A:

0 0 4

1 -2 -1

2 0 2

Ejercicio 7. Hallar la matriz adjunta de A :

-2 3 2

0 1 0

-1 1 1

MATRIZ TRASPUESTA

Es aquella que resulta de cambiar las filas por columnas. Se escribe A^t

Ejemplo 7. Hallar la matriz traspuesta de A 2x3

1 2 3

0 1 -2

La matriz trtaspuesta será de orden 3x2:

1 0

2 1

3 -2

MATRIZ INVERSA

Dada una matriz A, se llama matriz inversa de A, y se representa por A^(-1), a la que hace que A.A^(-1) = I

Para calcularla hallamos: A^(-1) = ((adj A)^t) / det A

Si el det A = 0, entonces no existe la matriz inversa.

Ejemplo 8. Hallar la matriz inversa de A:

1 3 1

0 1 0

-1 1 1

Hallamos det A = 1 + 0 + 0 - (-1 + 0 + 0) = 2. Por tanto existe la inversa.

adj A = 1 0 1 y (Adj A)^t = 1 -2 -1

-2 2 -4 0 2 0

-1 0 1 1 -4 1 Por tanto:

La inversa de A es:

1/2 -1 1/2

0 1 0

1/2 -2 1/2

Ejercicio 8 Hallar la matriz inversa de A :

-1 3

1 -2

ÁLGEBRA DE MATRICES

Las operaciones con matrices se hacen de forma distinta a las de los números reales, aunque se basan en ellas.

Suma y resta

Para sumar matrices, han de tener el mismo orden, resultando otra del mismo orden también, y con elementos sumados en las matrices sumando.

Ejemplo 8. Hallar A + B siendo

A = 1 3 B = 0 -1

4 -2 -3 2 Vemos que ambas tienen el mismo orden, cual es 2 x 2. Sumamos elemento con elemento de la misma posición:

A + B = 1 2

1 0

En la misma forma A - B:

1 4

7 -4

Multiplicación de un número por una matriz

El resultado es otra matriz del mismo orden, en la que cada elemento queda multiplicado por el número.

Ejemplo 9. Operar 2 . A, siendo A :

1 0 1

-2 3 1 La matriz resultado ha de tener orden 2 x 3,

y será: 2 0 2

-4 6 2

Ejercicio 8. Hallar - 2A + 3B, siendo

A = -1 2 B = 0 -3

1 0 -2 1/3

MULTIPLICACIÓN DE MATRICES

Para poder multiplicar matrices, el nº de columnas de la primera tiene que ser igual al nº de filas de la segunda.

Ejemplo 10. A = 1 3 B = -1 2

0 1 NO se puede efectuar A.B , pues 2 es distinto de 1

Si A 3x4 B 4x2 se pueden multiplicar, resultando A.B 3x2. pero no podemos efectuar B.A

Veamos el algoritmo de la multiplicación de matrices

A = 1 3 B = 5 4

-2 6 -1 7

A.B = a11 a12 a11 = 1.5 + 3.(-1) = 2 a12 = 1.4 + 3.7 = 25

a21 a22 a21 = -2.5 + 6.(-1) = -16 a22 = -2.4 + 6.7 = 34

Es decir fila por columna A.B:

2 25

-16 3

DIVISIÓN DE MATRICES

Esta operación no está definida en las matrices, por lo que no se puede hacer.

CONMUTATIVIDAD

1) La multiplicación de un número por una matriz si posee esta propiedad. Por ejemplo es lo mismo 2.A que A.2

2) La multiplicación de matrices no es conmutativa. A, B es distinto de B. A

Ejemplo 11. Hallar A. B y B.A

siendo A = 1 2 B = -1 0

1 1 3 -2

A. B = 5 -4 B.A = -1 -2

2 -2 1 4

Por tanto habrá que tener mucho cuidado con las operaciones con matrices, sobre todo al intentar aislar una matriz en una ecuación matricial.

RANGO DE UNA MATRIZ

Es el orden del mayor determinante distinto de cero.

Así la matriz A :

2 1

2 2 tiene rango 2, pues el detreminante de orden dos no se anula.

La matriz A :

1 3

-2 6 tiene rango 1, pues el determinante de orden dos es cero, y hay algún determinante de orden 1 distinto de cero.

Ejemplo 12. Hallar el rango de la matriz A:

1 0 1

2 1 -1

3 1 0

Para ello hallamos el detrminante de A = 0 + 2 + 0 -(3 -1 + 0) = 0. por tanto no puede ser de rango tres. Vemos si hay algún menor de orden doscuyo determinante sea distinto de cero. El primero 1 0

2 -1 es distinto de cero. por tanto r(A) = 2

En la matriz dada, la tercera fila es combinación lineal de las otras dos.

El rango tambien se define como el número de filas linealmente independientes.

SOLUCIONES DE LOS EJERCICIOS

1) a) 3 1 b) ( -1 - 1 0) c) (5)

0 -1

2) a13 = 2, a24 =5, a3,2 = 6

3) a) 4x4 b) a13 = 0 a3,4 = 4 a4,4 = 5 c) 11 casos d) 23 misiones e) "Riqui-Raca"

f) -6 g) 2 0 0 h) det C = 28

1 3 1

2 1 5

4) a) 4 b) 32 c) 27 d) No

5) a11 = 3 a12 = 2

a21 = -5 a22 = 1

6) a11 = 3 a12 = 2 a13 = -5

a21 = 4 a22 -2 a23 = 4

a31 = -1 a32 = -1 a33 = 2

7) 1 0 1

-1 0 -1

-2 0 -2

8) 2 -13

-8 1

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