INTRODUCCIÓN
La Programación Lineal es un conjunto de métodos matemáticos, que resuelven problemas de planificación económica y logística. Pretende optimizar una función (Función Objetivo) con recursos limitados (restricciones) de una empresa.
En 1946 se está en la llamada Guerra Fria, entre los Aliados y la URSS. Esta bloquea los abastecimientos por via terrestre a la ciudad de Berlín. Los Aliados no desean provocar otra guerra, y se plantean abastecer a la ciudad de Berlín por vía aérea, creando un puente aéreo que llegó a alcanzar las 8000 Tm diarias. Y esta planificación se hizo con la Programación Lineal (P.L.).
Los estudios de la P.L. lo inicia, en 1939, el matemático ruso Leonid Kantorovitch, con su publicación "Métodos matemáticos de organización y planificación de la producción". En 1941 se formula por primera vez el problema de transporte, estudiado independientemente por el holandés-norteamericano Tjalling Koopmans y el ruso Kantorovitch. Al desarrollarse la computación y los ordenadores, el norteamericano George Dantzig formula en términos matemáticos precisos el enunciado estándar de un problema de P.L. y forma el grupo SCOOP (Scientific Computation of Optimum Programs) junto a investigadores del Uniterd States Departament of Air Force, que intervino en el suministro, por puente aéreo, a la bloqueada ciudad de Berlín, por las tropas de la URSS.
Los fundamentos matemáticos de la P.L. se deben al matemático húngaro-norteamericano Janos von Neumann(1903-1958), mente privilegiada en numerosísimos campos de la cienca, trabajando en la Universidad de Princenton, NJ.
A Koopmans y Kantorovitch se le concedió el Nobel de Economía en 1975, expresando ellos su pesar por no poderlo compartir con Dantzig. Éste recibió en 1975 la cotizada Medalla de las Ciencias del Congreso de EEUU.
En 1984, el matemático indostaní Narendar Karmarkar, de los laboratorios Bell, obtuvo un método más potente que el de Dantzig (método del Simplex), al trabajar dentro de la región factiible, en vez de en las fronteras y puntos corner. El método de Karmarkar se aplicó a circuitos de comunicación telefónica en los que intervienen más de 20.000 variables.
¡Loor y gloria! a estos matemáticos Neumann, Kantorovitch, Dantzig, y Koopmans, Karmarkar que supieron dar su saberes para la resolución de problemas de logística, que abaratan los costes de distribución y transportes de mercancías.
ORGANIGRAMA DEL MODELO DE LA P. L.
Vamos a conseguir la optimización de una función (Función Objetivo) de dos variables (Variables de decisión), que está sometida a una condiciones (Restricciones); estas vienen dadas por las limitaciones de las variables, mediante un sistema de inecuaciones lineales con dos incógnitas(*)
El sistema de inecuaiones delimita un recinto cerrado o abierto (Región factible), con unos vértices (Puntos esquina), que desempeñan un papel muy importante.
El método es gráfico-analítico, por lo que es, digamos, ameno en la explicación, y los alumnos deben disponer de al menos una regla milimetrada.
TABLA DE DATOS ------------------------ VARIABLES DE DECISIÓN
FUNCIÓN OBJETIVO
RESTRICCIONES
MODELO MATEMÁTICO MODELO MATEMÁTICO SIMPLIFICADO
REGIÓN FACTIBLE
PUNTOS ESQUINA
GRÁFICA DE LAS LÍNEAS DE NIVEL
AJUSTE DE LA FUNCIÓN OBJETIVO
COMPARACIÓN DE PENDIENTES TABLA DE SOLUCIONES
SOLUCIÓN(ES) FINAL
De la TABLA DE DATOS con las VARIABLES DE DECISIÓN formamos la FUNCIÓN OBJETIVO y las RESTRICCIONES.
Con la FUNCIÓN OBJETIVO y las RESTRICCIONES, hallamos el MODELO MATEMÁTICO, y si se puede el MODELO MATEMÁTICO SIMPLIFICADO.
Con las RESTRICCIONES, dibujamos la REGIÓN FACTIBLE.
De la REGIÓN FACTIBLE, hallamos loa PUNTOS ESQUINA.
Con la FUNCIÓN OBJETIVO realizamos las gráficas de las LINEAS DE NIVEL.
Se realiza el AJUSTE de estas LINEAS DE NIVEL con los PUNTOS ESQUINA.
Se analizan las PENDIENTES Y la TABLA DE SOLUCIONES.
Se obtiene la SOLUCIÓN o SOLUCIONES.
Este es el método que sigo, y todo desarrollado en una Transparencia Didáctica Participativa, diseñada previamente con un ejercicio y múltiples superposiciones, que nos facilitan enormemente la explicación, las pistas a dar a los alumnos, su participación y la presentación detallada de todos los pasos, con gráfica adecuada.
EJEMPLO 1. Un fabricante de coches lanza una oferta en dos de sus modelos A y B. El model A con precio de 15.000€, y el B con 20.000€. la oferta está limitada con las existencias, que son de 20 coches del modelo A y 10 coches del modelo B, queriendo vender al menos tantas unidades del A como del B. Por otra parte para cubrir los gastos de esta campaña, los ingresos obtenidos por las ventas debe ser de 60.000€. ¿Cuántos coches de cada modelo tendrán que venderse para maximizar los ingresos?. ¿Cuáles serán los ingresos?
VARIABLES DE DECISIÓN
Buscamos las variables de decisión en la pregunta, que siempre viene al final. Contestamos con incógnitas:
Sea x el número de coches vendidos del tipo A.
Sea y el número de coches vendidos del tipo B.
FUNCIÓN OBJETIVO
El objetivo es hacer máximo los ingresos I = 15.000 x + 20.000 y
RESTRICCIONES
Establecemos el sistema de inecuaciones:
x <= 20
y <= 10
x >= y
15.000 x + 20.000 y >= 60.000
MODELO MATEMÁTICO REDUCIDO
Maximizar I = 15.000 x + 20.000 y, sometida a las restricciones:
x < = 20
y <= 10
x >= y
3 x + 4 y >= 12 Esta inecuación la hemos conseguido, diviendo la anterior todo por 5.000
Además por la naturaleza de la x e y, x >= 0, y >= 0 (Primer cuadrante)
REGIÓN FACTIBLE
Se trata de representar el sistema de inecuaciones, en unos ejes de coordenadas. Tan sólo nos interesa el primer cuadrante, donde estará la región factible, pues x >= 0, y >= 0.
Tomameros una unidad adecuada, cual es 2´5cm 5 unidades.
Representamos la primera inecuación x <= 20. Dibujamos la recta x = 20(10cm), que es paralela al eje OX pasando por (20,0). Y la región estará a su izquierda, incluyendo a la recta.
Representamos la segunda inecuación y <= 10. Nos aparecerá una recta horizontal, pasando por ((0, 10). La región será la inferior a la recta, incluyéndola.
Representmos la tercera inecuación x >= y. Para ello dibujamos la recta y = x, con tan sólo dos puntos, por ejemplo (0,0) (1,1). Y la zona será la propia recta y su zona inferior.
Representamos la cuarta inecuación 3x + 4y >= 12. Aislamos la y. 4y >= - 3x + 12, implica que y >= - 3/4 x + 3. Dibujamos la recta con los puntos (0, 3) (4, 0). La zona corresponderá a la recta, y su parte superior.
La región factible tendrá que cumplir todas las inecuaciones. Resulta ser una región cerrada pentagonal.
VÉRTICES
Para encontrarlos resolvemos los sistemas formados por las rectas que se interfieren.
Vértice A: Resolvemos y = x, y = - 3/4 x + 3. Por igualación x = - 3/4 x + 3, lo cual implica que x + 3/4 x = 3, implica 7/4 x = 3, de donde x = 12/7 y = 12/7. A(12/7, 12/7)
Vértice B: Resolvemos el sistema y = 10, y = x, y tenemos B(10,10).
Vértice C: resolvemos y = 10, x = 20. C(20,10).
Vértice D: Resolvemos y = 0, x = 20 D(20,0)
Vértice E: Resolvemos y = - 3/4 x + 3, y = 0, es decir - 3/4 x + 3 = 0, implica x = 4 y = 0. E(4,0)
GRÁFICAS DE LAS LINEAS DE NIVEL Y AJUSTE
Para ello partimos de la Función Objetivo I = 15.000x + 20.000 y. Despejamos la y, quedándonos y = - 3/4 x + (I/20.000)
Damos a I un valor apropiado, para la representación, por ejemplo I = 100.000, quedando entonces y = - 3/4 x + 5, y hallando dos puntos (0,5), (4, 2) la representamos con línea discontinua. Se trazan paralelas hasta al canzar el toque con el punto C de la Región Factible, que nos dará el Máximo de los Ingresos. Si queremos obtener el mínimo , la vamos desplazando hacia el origen, y vemos que se nos sitúa encima de los vértices A y E. Hay infinitos Mínimos, que serán los vértices A y E y todos los puntos de ese segmento. Obsérvese que ambas rectas tienen la misma pendiente. Es un caso de soluciones múltiples.
TABLA DE SOLUCIONES
A(12/7, 12/7) B(10,10) C(20, 10) D(20,0) E(4,0)
I = 15.000 x + 20.000 y 60.000 350.000 500.000 300.000 60.000
MÍNIMO MÁXIMO MÍNIMO
SOLUCIÓN DEL PROBLEMA
Para alcanzar el máximo de Ingresos, habrá que vender 20 coches del modelo A, y 10 coches del modelo B, obteniedo 5000.000€ de Ingresos.
MÉTODO CON TRANSPARENCIA DIDÁCTICA PARTICIPATIVA (T.D.P.)
Es una herramienta excelente para la explicación paso a paso, con Superposiciones que van congfigurando las gráficas, cada una de un color. La región factible aparecerá sombreada. En cada Superposición se muestra alguna ayuda o insinuación, para que el alumno participe en la resolución del problema.
En caso de que se necesite desarrollos algebraicos, se empleará la pizarra blanca de rotuladores. Hay que disponer de un Aula Acondicionada, con pantalla para Retroproyección sin efecto "Keystone", posicionamiento adecuado del retroproyector, y pizarras de rotuladores. A este aula acudirán los alumnos, es un "aula de profesor", donde todo el hardware es estacionario, y de uso diario, siempre que el profesor diseñe el software adecuado, con la maestría propia: Las T.D.P.
Veamos la T.D.P. para el problema en cuestión, cuyo enunciado estará escrito en la pizarra.
Consta de una Base, 9 Superposiciones y un Monitor Móvil.
BASE En ella aparecen los ejes de coordenadas con las unidades descritas en el apartado de Región Factible, 2´5 cm, 5 unidades. Los alumnos irán participando, es decir realizando en Din A4 lo mismo. Aparecen las variables de decisión x e y, con su significado. También la variable de Ingresos I = ........... que los alumnos intentarán encontrar.
SUPERPOSICIÓN 1 Aparece la Función Objetivo, a maximizar, en color negro I = 15.000 x + 20.000 y. Además damos una pista para la primera inecuación x>=......, y en color rojo.
SUPERPOSICIÓN 2 En ella está escrita la primera inecuación x <= 20, y su representación con la zona insinuada con flechas. Se da la pista de y < = ........ para la segunda inecuación en color azul. Los alumnos tienen que averiguarla y representarla.
SUPERPOSICIÓN 3 Es la solución de lo pedido y <= 10. Se da pista par la siguiente inecuación x >=.......todo en color verde. Los alumnos intentarán completrala y dibujarla. se dará pistas orales" es la bisectriz del primer cuadrante", "es la función identidad".
SUPERPOSICIÓN 4 Aparece la inecuación y >= x y su región. insinuada con dos flechas. Cabe recordar que todos estos actos podemos volver atrás, para responder a dudas de los alumnos, con la facilidad de quitar las Superposiciones. Se da la pista o ayuda de la última inecuación, 15.000 x + ..........>= 60.000, y en color violeta. Se les advierte que la simplifiquen
SUPERPOSICIÓN 5 En ella aparece la inecuación, ya simplificada 3x + 4y >= 12. Se acude a la pizarra para la explicación. Y aparece la recta y su zona. Ya tenemos configurada la Región Factible, en dónde está marcados los vértices A, B, C, D y E. Los alumnos han de hallar sus coordenadas, visual y analíticamente. Mantenemos la proyección de la Región Factible y vamos señalizando con el puntero laser el vértice A, de intersección de las rectas en rojo y en azul. La Región Factible aparece punteada con una trama en color negro.
Nosotros, en la pizarra escribimos el sistema a resolver, para cada uno de los vértices. Se discuten los resultados y visionan en la Región Factible.
SUPERPOSICIÓN 6 En ella están las coordenadas de los vértices o puntos esquina de la Región Factible. Se da la pista de la tabla con I y los vértces. Los alumnos han de calcular los Ingresos.
SUPERPOSICIÓN 7 Aparece la tabla rellena con todos los ingresos, para cada punto esquina, y se comenta dónde se produce el Máximo de Ingresos, punto C( 20,10). Es la solución del problema. Se señaliza en la pantalla de proyección, con el laser, los Puntos de la Región Factible donde se producen los Mínimos, en A y E.
SUPERPOSICIÓN 8 Es una explicación de las curvas de nivel de los ingresos. Aparece despejada la y en la Función Objetivo. Como está reducida y parametrizada con I = 100.000, se hará las operaciones oportunas y explicativas en la pizarra, y manteniendo la proyección del retroproyector, donde aparece con línea discontinua en marrón y = -3/4 x + 5.
SUPERPOSICIÓN 9 En ella está dibujadas las líneas de nivel, en los puntos C, A y E de la Región Factible, para explicar el alcance Máximo y Mínimo. También se hace notar el paralelismo con la recta que pasa por A y E.
MONITOR MÓVIL Es una transparencia suelta, donde viene representada, sin ejes, la función, y = - 3/4 x + 5. De esta manera la podemos ir desplazando por la Región Factible, con su pendiente, en paralelismo a las de la Superposición 8.
CONFECCIÓN de la T.P.D. Las numerosa Superposiciones han de estar en soporte de un Marco de trabajo de transparencia, con la bisagra adecuada, para un uso rápido y cómodo. Se montan por los cuatro lados del Marco. La elaboración corresponde al profesor, antes de la clase, con su didáctica propia, pensando simpre a quién va dirigida y los numerosos pasos que ha de hacer. Este trabajo se verá recompensado al aplicarla en clase, pues las gráficas con los colores, juegan un papel didáctico, aparte de lúdico.
Desde mi experiencia de creación y uso Sistemático de T.D.P., la facilidad de las explicaciones se potencian enormemente, al igual que la participación y comprensión de los topicos por los alumnos.
(*) En otro artículo están explicados los Sistemas de Inecuaciones.
