Un Espacio Vectorial es una estructura matemática que verifica una serie de propiedades, respecto a dos operaciones o leyes de composición.
Nace con el estudio de los vectores libres del plano, que reunen una serie de propiedades respecto a una ley de composición interna, la suima de vectores, y otras propiedades respecto a una ley de composición externa, la multiplicación por escalares.
Propiedades respecto a la ley de composición interna (L.C.I.), la suma de vectores
Una L.C.I. es aquella que al operar con cualquier elemento de un conjunto, sale otro elemento de ese conjunto. También se le llama operación cerrada.
Si sumamos dos vectores cualesquiera, su resultado es otro vector. Por tanto la suma de vectores es operación cerrada. Veamos las propiedades:
1) Propiedad asociativa: Se verifica que a + ( b + c) = (a + b) + c
2) Elemento neutro: Se verifica que a + 0 = a
3) Elemento simétrico: Se verifica que a + (- a) = 0
4) Propiedad conmutativa: Se verifica que a + b = b + a
Se dice que es un Grupo conmutativo o abeliano.
Propiedades respecto a una ley de composición externa (L.C.E.), la multiplicación por escalares
Una L.C.E. es aquella en la que intervienen dos conjuntos distintos de elementos. En nuestro caso la multiplicacion de Vectores por Escalares, resultando Vectores. Veamos las propiedades:
1) Propiedad distributiva de vectores y escalares: Se verifica k.(a + b ) = ka + kb
2) Propiedad distributiva de escalares y vectores: Se verifica (k + k´).a = ka + ka
3) Propiedad asociativa de de escalares y vectores: Se verifica (k.k´).a = k.(k´.a)
3) Propiedad modular. Se verifica que 1. a = a
Por tanto un conjunto que verifique esas ocho propiedades, tiene estructura de Espacio Vectorial
Son Espacios Vectoriales las Funciones continuas reales, los números complejos, los polinomios de grado p, las matrices de orden mxn.
Los Espacios Vectoriales son el inicio del Álgebra Lineal, asignatura de primer año de Carrera en todas las Facultades de Ciencias en España.
En el Álgebra Lneal se estudian los Subespacios vectoriales, las Aplicaciones Lineales, los Autovalores y Autovectores, Diagonalización de matrices, y las Formas cuadráticas.