INTRODUCCIÓN
Una vez sabida las Razones Trigonométicas de los ángulos de 0º, 30º, 45º, 60º, y 90º (Ver artículo anterior), vamos a deducir gráficamente las correspondientes a otros ángulos.
ÁNGULOS RELACIONADOS EN EL PRIMER Y 2º CUADRANTE
Si dibujamos un ángulo de 0º y de 180º, observamos que P(1,0) y P´(-1,0) al ser simétricos respecto al eje de ordenadas. Por tanto se verifica:
sen 180º = sen 0º = 0
cos 180º = - cos 0º= -1
Ejercicio 1. Hallar las restantes razones trigonométricas de 180º.
Si dibujamos un ángulo de 30º y otro de 150º, observamos que P(x, y) y P´(-x, y). Ver figura.
sen 150º = sen 30º = 1/2
cos 150º = - cos 30º = - (Raiz 3)/ 2
Ejercicio 2. Hallar las restantes razones trigonométricas de 150º.
Si dibujamos un ángulo de 45º y otro de 135º, observamos que P(x,y) y P´(-x, y)
sen 135º = sen 45º =( Raiz 3)/2
cos 135º = cos 45º = - (Raiz 3)/2
Ejercicio 3. Hallar las estantes razones trigonométricas de 135º.
Si dibujamos un ángulo de 60º y otro de 120º, observamos que P(x,y) y P´(-x, y)
sen 120º = sen 60º = (Raiz 3) /2
cos 120º = - cos 60º = -1/2
Ejercicio 4. Hallar las restantes razones trigonométricas de 120º.
ÁNGULOS RELACIONADOS EN EL PRIMER Y TERCER CUADRANTE
Si dibujamos un ángulo de 30º y otro de 210º, observamos que P(x,y) y P´(- x, -y)
sen 210º = - sen 30º = -1/2
cos 210º = -cos 30º = - (Raiz 3)/ 2
Ejercicio 5. hallar las restantes razones trigonométricas de 210º.
Si dibujamos un ángulo de 45º y otro de 225º, observamos P(x,y) y P´(- x, - y)
sen 225º = - sen 45º = - (Raiz 3) / 2
cos 225º = - cos 45º = - (Raiz 3) / 2
Ejercicio 6. Hallar las restantes razones trigonométricas de 225º.
Si dibujamos un ángulo de 60º y otro de 240º, observamos P(x, y) y P´(- x. - y). Ver figura.
sen 240º = - sen 60º = - (Raiz 3) / 2
cos 240 = - cos 60º = -1/2
Ejercicio 7. Hallar las restantes razones trigonométricas de 240º.
ANGULOS RELACIONADOS EN EL PRIMER Y CUARTO CUADRANTE
Si dibujamos un ángulo de 30º y otro de - 30º (330º), observamos P(x,y) y P´(x, - y)
sen 330º = .sen 30º = - 1/2
cos 330º = cos 30º = (Raiz 3) / 2
Ejercicio 8. Hallar las restantes razones trigonométricas de 330º.
Si dibujamos un ángulo de 45º y otro de -45º ( 315º), ocurre P(x, y) y P´( x. - y)
sen 315º = - sen 45º= - (R 2) / 2
cos 315º = cos 45º = (R 2) / 2
Ejercicio 9. Hallar las restantes razones trigonométricas de 315º.
Si dibujamos un ángulo de 60º y otro de - 60º (300º). ocurre P(x, y) y P,(x, - y)
sen 300º = - sen 60º = - (R 3) / 2
cos 300º = cos 60º = (R 3) / 2
Ejercicio 10. Hallar las restantes razones trigonométricas de 300º.
ÁNGULOS RELACIONADOS EN EL SEGUNDO Y TERCER CUADRANTE
Si dibujamos un ángulo de 120º y otro de 240º, ocurre P(x. y) y P´(x, - y)
sen 120º = - sen 240º
cos 120º = cos 240º
Si dibujamos un ángulo de 135º y otro de 225º, entonces P(x, y) y P´(x, - y)
sen 135º = - sen 225º
cos 135º = cos 225º
Si dibujamos un ángulo de 150º y otro de 210º, entonces, P(x, y) y P´(x, - y)
sen 150º = - sen 210º
cos 150º = cos 210º
ÁNGULOS RELACIONADOS EN EL SEGUNDO Y CUARTO CUADRANTE
Si dibujamos un ángulo de 120º y otro de 300º, ocurre P(x. y) y P´(- x, - y)
sen 120º = - sen 300º
cos 120º = - cos 300º
Si dibujamos un ángulo de 135º y otro de 315º, entonces P(x, y) y P´(- x, - y)
sen 135º = - sen 330º
cos 135 = - cos 330º
Si dibujamos un ángulo de 150º y otro de 330º, tenemos P(x .y) y P´(- x, - y). Ver figura.
sen 150º = - sen 330º
cos 150º = - cos 330º
ÁNGULOS RELACIONADOS EN EL TERCER Y CUARTO CUADRANTE
Si dibujamos un triángulo de 210º y otro de 330º, vemos que P(x, y) y P´( -x, y)
sen 210º = sen 330º = - 1/2
cos 120º = - cos 330º
Si dibujamos un ángulo de 225º y otro de 315º, ocurre P(x, y) y P´(- x, y). Ver figura.
sen 225º = sen 315º
cos 225 = -cos 315º
Si dibujamos un ángulo de 240º y otro de 300º, ocurre P(x, y) y P´(- x, y)
sen 240º = sen 300º
cos 240º = - cos 300º
TABLA DE SENOS Y COSENOS
120º 135º 150º 210º 225º 240º 300º 315º 330º
SENO (R 3)/2 (R 2)/2 1/2 -1/2 -(R 2)/2 -(R 3)/2 -(R 3)/2 -(R 2)/2 -1/2
COSENO -1/2 -(R 2)/2 -(R 3)/2 -(R 3)/2 " -1/2 1/2 (R 2)/2 (R 3)/2
SOLUCIONES
Ejercicio 1.
tag 180º = 0 cotg 180º IND sec 180º = -1 cosec 180º IND
Ejercicio 2.
tag 150º = (-1)/R 3 cotg 150º = -(R 3) sec 150º = - 2/( R 3) cosec 150º = - 2
Ejercicio 3.
tag 135º = - 1 cotg 135º = - 1 sec 135º = -2/(R 2) cosec 135º = 2/ R2)
Ejercicio 4.
tag 120º = - R 3 cotg 120º = - 1/(R 3) sec 120º = - 2 cosec 120º = 2/ (R 3)
Ejercicio 5.
tag 210º = 1/(R 3) cotg 210º = R 3 sec 210º = -2/(R 3) cosec 210º = - 2
Ejercicio 6.
tag 225º = 1 cotg 225º = 1 sec 225º = - 2/(R 2) cosec 225º = - 2 /(R 2)
Ejercicio 7.
tag 240º = - R 3 cotg 240º = - 1/(R 3) sec 240º = - 2 cosec 240º = - 2 /(R 3)
Ejercicio 8.
tag 330 = - 1 / (R 3) cotg 330º = - R 3 sec 330º = 2 / (R 3) cosec 330º = - 2
Ejercicio 9.
tag 315º = - 1 cotg 315º = - 1 sec 315º = 2 / (R 2) cosec 315º = - 2 / (R 2)
Ejercicio 10.
tag 300º = - R 3 cotg 300º = - 1/ (R 3) sec 300º = -2 cosec 300º = - 2/ (R 3)
Es muy práctico la representación del ángulo del que queremos hallar las razones trigonométricas, para compararlas a las conocidas en el primer cuadrante.
