Por la propia definición de una función y = f(x), en la cual a cada valor de x sólo le corresponde un sólo valor de la y, puede presentar dos tipos de simetría.
SIMETRÍA CON RESPECTO AL EJE OY
El eje de ordenadas hace de "espejo", reflejando a su izquierda lo que se visualiza a su derecha y viceversa. Así, si tenemos el punto A(3, 1) en el primer cuadrante, pasará al (- 3,1) en el segundo cuadrante.
Si nos fijamos en la función y = f(x) = x^2 , que es una parábola, y hacemos x = 1, obtenemos el punto (1, 1) Y si damos a x = - 1, obtenemos el punto (- 1, 1), su simétrico respecto al eje OY. Si x = 2, obtenemos el punto (2, 4) y si x = - 2 obtenemos el (- 2, 4), su simétrico.
En general lo que ocurre en las funciones que son simétricas respecto al ej OY es:
f(x) = f(- x) para cualquier valor de x
A estas funciones se les llama Función Par.
Ejemplo 1. Hallar la simetría, con respecto al eje OY de y = f(x) = ((x - 1)^2) / x^4
Tenemos f(x), y ahora hallamos f(- x) = ((- x - 1)^2) / (- x)^4 = ((- 1)^2. (x + 1)^2) / x^4 =
= ((x + 1)^2)) / x^4, que vemos es distinta a la f(x) dada, por lo que no es simétrica.
Ejemplo 2. Hallar la simetría con respecto al eje OY de la función y = f(x) = x^4 - 2.x^2 + 1
Hallamos f(-x) = (- x)^4 - 2.(- x)^2 + 1 = x^4 - 2.x^2 + 1 que vemos es igual a f(x), por lo que la función dada presenta simetría respecto al eje de ordenadas.
Ejemplo 3. Hallar la simetría con respecto al eje OY de la función y = f(x) = -(x)^2 + x - 3
Hallamos f(- x) = -(- x)^2 + (-x) - 3 = - (x)^2 - x + 3, que vemos difiere de f(x), por lo que no es simétrica con respecto al eje de ordenadas.
Las funciones que presentan esta simetría, son ventajosas al representarlas, pues obtenidos puntos en el primer y cuarto cuadrante, se dibujan sus simétricos en el segundo y tercer cuadrante, respectivamente y viceversa.
Ejercicio 1. Hallar la simetría con respecto al eje OY de y = f(x) = (x +2)^2
Ejercicio 2. Hallar la simetría con respecto al eje OY de la función y = (x^2 - 3) / x^4
Ejercicio 3. Hallar la simetría con respecto al eje OY de y = f(x) = 5 / x^3
SIMETRÍA CON RESPECTO AL ORIGEN DE COORDENADAS
En este caso, la función que lo cumple presenta puntos en el primer cuadrante simétricos en el tercer cuadrante. Y los puntos del segundo cuadrante pasan al cuarto cuadante y viceversa. Así, en la función y = f(x) = 1/x tenemos que si x = 1, la y = 1 Punto (1, 1) Y si la x = -1, obtenemos y= - 1, punto (- 1, -1). Al igual para el punto (2, 1/2), que pasa al (- 2, -1/2).
En general, para comprobar si una función es simética respecto al origen de coocdenadas:
f(x) = - f( -x)
Ejemplo 4. Hallar la simetría con respecto al origen de la función y = f(x) = x /( x - 1)
Hallamos - f(- x) = - (- x) / (- x -1) = x / ( - x - 1) que es distinta a f(x). No hay simetría.
Ejemplo 5. Hallar la simetría con respecto al origen de y = f(x) = x^3 + x - 5
Hallamos - f(-x) = -(( - x)^3 + ( - x) - 5 = - ( - x^3 - x - 5) = x^3 - x - 5 Por tanto no
Ejemplo 6. Hallar la simetría con respecto al origen de y = f(x) = x^3 + x
Hallamos - f(- x) = - (( -x)^3 + (- x)) = - ( - x^3 - x ) = x^3 + x que es igual a f(x), Si
A la funciones que cumple esta simetría se les llama Función Impar.
Ejercicio 4. Estudiar la simetría con relación al origen de y = f(x) = x / 4
Ejercicio 5. Estudiar la simetría con relación al origen de y = f(x) = 3
Ejercicio 6. Estudiar la simetría con respecto al origen de y = f(x) = x^3 / (x^2 - 1)
SIMETRÍA RESPECTO AL EJE OX
Esta simetría no existe en las funciones, ya que por su definición a un valor de x sólo le corresponde uno de y. No puede haber fuinciones en las que el eje de las abscisas sea un "espejo". Por ejemplo y = Raiz (x) si tendría simetría con respecto al eje OX, pues si x = 4 obtendríamos los puntos (4, 2) y (4, -2). Pero esto nos hace ver que NO es una función, pues a un valor de x = 4 nos salen más de un valor de la y, 2 y - 2.
Las dos simetrías anteriores son excluyentes, no se pueden dar al unísono en una función.
Soluciones de los Ejercicios
1) No, f(- x) = (- x + 2)^2
2) Si
3) No, f(-x) = - 5 / x^3
4) Si
5) No, - f(- x) = - 3
6) Si
