Hay numerosos tipos de ecuaciones en matemáticas. De hecho, las ecuaciones son un tema bastante tratado en las clases de matemáticas. En España, en la enseñanza Preuniversitaria, se estudian los siguientes tipos de ecuaciones:
- Ecuaciones lineales.
- Ecuaciones cuadráticas.
- Ecuaciones de orden superior a dos.
- Ecuaciones racionales.
- Ecuaciones irracionales.
- Ecuaciones exponenciales.
- Ecuaciones logarítmicas.
- Ecuaciones trigonométricas.
Resolución de ecuaciones
Cada ecuación tiene un algoritmo o método de resolución, empleando siempre la técnica algebraica.
Conviene eliminar los denominadores en las ecuaciones, factorizarlas, emplear la fórmula en las ecuaciones de segundo grado, y Ruffini en las de grado superior.
- En las ecuaciones irracionales, tendremos que eliminar las raíces, para poder despejar la indeterminada, y comprobar al final la solución.
- En las exponenciales se intenta tener la misma base en los dos miembros de la ecuación, para igualar los exponentes.
- En las logarítmicas conviene dejar los dos miembros afectados por el logaritmo, empleando las propiedades.
- En las trigonométricas se emplean las numerosas relaciones que hay entre las razones trigonométricas y teoremas.
Conviene la realización de numerosos ejercicios, para que los alumnos no cometan errores, que son muy frecuentes, pues interviene toda la operatividad algebraica. En muchas ocasiones los alumnos no llegan a buen término al resolver un problema, por fallos en la resolución de las ecuaciones a que da lugar.
Soluciones de ecuaciones
1) 4x - 5 = 3x - 8 ; 4x - 3x = - 8 + 5; x = - 3
2) (2x - 5) /3 = 4 - x/2 ; m c m ( 3, 2) = 6 Multiplicamos por 6, y nos queda 2(2x - 5) = 24 - 3x
4x - 10 = 24 - 3x ; 7x = 34 ; x = 34/7
3) x^2 + 2x - 3 = 0 ; x =(-2 +- (4 + 12)^1/2) / 2 ; x =(-2 +- 4)/2 ; x = 1, x = - 3
4) x^3 + 2x^2 - x - 2 = 0 Por Ruffini
1 2 -1 -2
1) 1 3 2
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1 3 2 0 x = 1
Y resolviendo x^2 + 3x + 2 = 0 ; x = - 1, x = - 2
5) Raiz (x - 9) = 1 - Raiz (x -18) ; elevando al cuadrado x - 9 = 1 - 2 Raiz (x - 18) + x - 18;
x - 9 + 1 - x + 18 = 2 Raiz (x -18) ; 8 = - 2 Raiz (x - 18) ; 4 = - Raiz (x - 18); 16 = x - 18;
x = 34
Y hay que comprobar si es verdadera solución, sustituyendo en la ecuación dada:
Raiz (34 - 9) = 1 - Raiz (34 -18); Raiz 25 = 1 - Raiz 16 ; 5 = 1 - 4 ; 5 = - 3 Falso.
Por tanto, no tiene solución.
6) 1/(1 - x) = 1/(x - x^2) ; m.c.m. = x (1 - x ) ; multiplicamos todo por el m.c.m. ; x = 1
7) 4^(x - 1) + 2^(x + 2) = 48 ; 4^x. 1/4 + 2^x. 4 = 48 ; 4^x + 16. 2^x = 192 ; hacemos el cambio de variable t = 2^x ; t^2 +16t -192 = 0 ; ecuación de 2º grado que nos da t = 8, t = - 24
Restituimos el cambio: 8 = 2^x ; x = 3 ; - 24 = 2^x ; no hay solución.
8) log 2 + log (x- 3) = log Raiz(2x) ; log(2. (x - 3)) = log Raiz(2x) ; 2(x - 3) = Raiz(2x);
(2x - 6)^2 = 2x : 4. x^2 - 24x + 36 = 2x ; 4 x^2 - 26x + 36 = 0 ; 2 x^2 - 13x + 18 = 0 ; resolviendo esta ecuacion de 2º grado nos queda x = 9/2, x = 2
9) (sen x)^2 - 2(cos x)^2 = 1 ; (sen x)^2 - 2(1 - (sen x)^2) = 1 ; (sen x)^2 - 2 + 2.(sen x)^2 = 1; 3(senx)^2 = 3 ; (sen x)^2 = 1 ; senx = 1, sen x = - 1; x = 90º + 360ºk , x = 270º + 360ºk
5 secx - 4 cosx = 8 : 5(1/cosx) - 4 cos x = 8 ; 5 - 4(cos x)^2 = 8 cos x ; 4 (cos x)^2 + 8 cos x - 5 = 0 ; ecuación de 2º grado que nos da cos x = 1/2, cos x = - 5/4 ; Cos x = 1/2; x = 60º + 360ºk, x = 300º + 360ºk ; cos x = -5/4; no existe x, pues -5/4 < - 1
