INTRODUCCIÓN
Para este curso escolar 2020-20021 el examen de Selectividad (PAU), consta de dos modelos con 10 ejercicios de los diferentes bloques Álgebra, Programación Lineal, Análisis, y Probabilidad e Inferencia. Los alumnos elegirán 5 ejercicios de entre los 10 propuestos. Simulamos un examen donde figuran 2 problemas de Álgebra, 2 de Programación Lineal, 3 de Análisis y 3 de Probabilidad e Inferencia.
MODELO DE EXAMEN DE MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES
1) Una papelería quiere ñliquidar hasta 78 kg de papel reciclado y hasta 138 kg de papel normal. Para ello hace dos tipos de lotes A y B. Los lotes A están formados por 1 kg de papel reciclado y 3 kg de papel normal y los lotes B por 2 kg de papel de casa clase. El precio de venta de cada lote A es de 0´90 € y el de cada lote B es de 1€. ¿Cuántos lotes A y B deben venderse para maximixar sus ingresos? ¿A cuánto asciende estos ingresos máximos?
SOLUCIÓN
30 de A, 24 de B, con Ingreso máximo de 51€
2) Dado el sistema dependiente de un parámetro, a, se pide:
a) Discutirlo según los valores de a.
b) Resolverlo para el caso de que sea compatible indeterminado.
x + y + z = a - 1
2x + y + az = a
x + ay + z = 1
SOLUCIÓN
a) Si a distinto de 2, a distinto de 1, el sistema es Compatible Determinado.
Si a = 2 el sistema es Compatible Indetreminado.
Si a = 1, el sistema es Incompatible.
b) x = 1 - t, y = 0, z = t
3) Dada la función f(x) = 3x / (x^2 - 1) se pide:
a) Estudio de la monotonía y extremos relativos.
b) Asíntotas
c) Área de la región cerrada limitada por f(x), el eje OX, y las rectas x = 2, x = 3
SOLUCIÓN
a) Decreciente en R menos en x = - 1, x = 1. No tiene extremos relativos.
b) Asíntota horizontal y = 0. Asíntotas verticales x = 1, x = - 1.
c) 3/2 (ln 8 - ln 3)
4) Dada la función f(x) = I x-2I se pide:
a) Estudiar la continuidad y derivabilidad en R.
b) Hallar el área del rcinto plano limitado por f(x)
SOLUCIÓN
a) Continua en R. Derivable en R menos x = 2.
b) 2,5 u.c.
5) Dada la función f(x) = -(x - 2)^2 + 3 se pide:
a) Extremos relativos y curvatura.
b) Ecuación de la recta tangente a f(x) en x = 3
c) Área del recinto limitado por f(x), el eje de abscisas y las rectas x = 1, x = 2.
SOLUCIÓN
a) Máximo relativoen (2, 3). Cóncava hacia abajo en R.
b) y = - 2x + 8
c) 8/3 u.c.
6) Una persona cuida su jardín pero es bastante distraída y se olvida de regarlo a veces. La probabilidad de que se olvide de regar el jardín es 2/3. El jardín no está en muy buenas condiciones, así que si se le riega tiene la misma probabilidad de progresar que de estropearse, pero la probabilidad de que progrese si no se le riega es de 0´25. Si el jardín se ha estropeado, ¿cuál es la probabilidad de que la persona olvidara regarlo?
SOLUCIÓN
p = 0´57
7) Sean A i B dos sucesos aleatorios tales que p(A) = 3/4, p(B) = 1/2, p(A U B)* = 1/20. Se pide:
a) P (A U B) b) P(A*/B) c) P(B*/A) * significa el contrario
SOLUCIÓN
a) 19/20 b) 1/5 c) 9/20
8) Se estima que el tiempo de reacción de un conductor ante un obstáculo imprevisto tiene una distribución normal con desviación típica 0´05 segundos. Si se quiere conseguir que el error de estimación de la media no supere los 0´01 segundos con un nivel de confianza del 99%, ¿qué tamaño mínimo ha de tener la muestra de tiempos de reacción?
SOLUCIÓN
n = 166
9) Un agricultor dispone de 5 hectáreas, como máximo, de terreno para dedicar a la plantación de trigo y cebada. Cada hectárea dedicada al trigo le supone un beneficio de 200€, mientras que la dedicada a cebada 60€. Entre ambos cultivos es obligatorio plantar como mínimo una hectárea, y la normativa le obliga a que el cultivo de trigo ocupe como mucho una hectárea más que el de cebada. Representar la región factible y detreminar las hectáreas que debería dedicar a cada cultivo para maximizar el beneficio y obtener el máximo beneficio.
SOLUCIÓN
Vértices de la región factible A (1, 0), B(0, 1), C (3,2), D (0, 5), Máximo en C con 720€.
10) Dasa las matrices A y B, se pide: a) Hallar a, b, c para que A^2 = A - B. b) Para a = b = c = 2 estudiar si A es invertible y en caso afirmativo hallar la inversa.
SOLUCIÓN
a) a = c = - 1, b = - 2 b) Inversa de A 1 0 0
- 2 1 0
2 - 2 1
CONCLUSIÓN
Al poder escoger de los dos modelos 5 problemas cualesquiera, el alumno puede contestar sólo los problemas de los bloques que le interesen. Esto supone una "ventaja" para el alumno, frente a las pruebas de dos opciones, a elegir una opción, en las que obligatoriamente tenía que hacer problemas de todos los bloques. Así en este examen propuesto, un alumno que desconozca el Análisis y el Álgebra, podrá elegir 5 problemas, los dos de Programación Lineal y los tres de Probabilidad e Inferencia, y sacar la máxima nota. Y así múltiples combinaciones de ignorancia.
Esto puede dar lugar a cierta picaresca, en la que los Centros dejen de explicar algunos bloques y se esmeren en otros. Suponemos que la inspección estará al tanto.
En el modelo propuesto figuran 2 problemas de Álgebra, 2 de Programación Lineal, 3 de Análisis y 3 de Probabilidad e Inferencia. Pero se puede variar esta combinación.
