Se conocen como Igualdades notables, ciertas expresiones de desarrollo polinómicos, que se reducen a fórmulas, rápidas de aplicar y también de cometer errores por los alumnos.
Los alumnos desde 1º de ESO están familiarizados con el desarrollo de las expresiones: CUADRADO DE UNA SUMA (a + b)^2 CUADRADO DE UNA DIFERENCIA (a - b)^2 DIFERENCIA DE CUADRADOS (a + b)(a - b)
Tenemos así expresiones como: (2x +3)^2 (3x -2y)^2 (1/2 x + 3y)(1/2 x - 3y)
CUADRADO DE UNA SUMA (a + b)^2
Veamos (2x + 3y)^2 = (2x +3y)(2x + 3y) y multiplicando esos polinomios tendremos: 2x.2x + 2x.3y + 3y.2x + 3y.3y = 4 x^2 + 6xy + 6yx + 9 y^2 = = 4 x^2 +12xy + 9 y^2 Esta expresión la podemos poner también así: 4 x^2 + 2(2x)(3y) + 9 y^2 y también: (2x)^2 + (2x)(3y) + (3y)^2 y si llamamos en la primera expresión el primero a 2x, y el segundo a 3y, tendremos El cuadrado de una suma es igual al cuadrado del primero, más el doble producto del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo. De esta forma nos será más fácil conseguir, por ejemplo (1/4x + 2y)^2 si aplicamos la fórmula, teniendo en cuenta que el primero es 1/4x y el segundo 2y. (1/4x + 2y)^2 = (1/4x)^2 + 2 (1/4x)2y + (2y)^2 = 1/16 x^2 + 4/4 xy + 4 y^2 = = 1/16 x^2 + xy + 4 y^2
Si nos ejercitamos un poco en ello, lo haremos en un solo paso. Así: (3x + 1/2y)^2 = 9 x^2 + 3xy + 1/4 y^2
(3/4x + 5/2y)^2 = 9/4 x^2 + 2.3/4.5/2 xy + 25/4 y^2 = 9/4 x^2 + 15/8 xy + 25/4 y^2
Pero ocurre que los alumnos suelen omitir en la formula el doble producto, y ponen que ¡¡¡ (3x + 1/2 y)^2 = 9 x^2 + 1/4 y^2 !!! con gran desesperación del profesor, que se cuestiona si vale la pena enseñar la fórmula obtenida, pues son muchos los alumnos que cometen ese fallo. Pero claro, si no enseñamos esta fórmula, el desarrollo por la multiplicación de los dos polinomios es farragosa y larga, terminando al final con errores.
EL CUADRADO DE UNA DIFERENCIA (a - b)^2
La fórmula a aplicar es: Cuadrado del primero, menos el doble del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo. (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 Así: (5x - 4y)^2 = = 25 x^2 - 2.5.4xy +16 y^2 = 25 x^2 - 40xy + 16 y^2 y los alumnos insistirán: ¡¡¡ ( 5x - 4y)^2 = 25 x^2 - 4 y^2 !!! o peor todavía ¡¡¡ 5 x^2 - 4 y^2 !!!
SUMA POR DIFERENCIA (a + b)(a - b)
Si lo multiplicamos obtenemos (a + b)(a -b) = a.a - ab + ba - bb = a^2 - b^2 que leída será: "La suma por la diferencia es la diferencia de cuadrados" Ejemplos: ( 6x + 2y)(6x - 2y) = (6x)^2 - (2y)^2 = 36 x^2 - 4 y^2 (3/4 x + 1/2 y)(3/4 x - 1/2 y) = 9/16 x^2 - 1/4 y^2 y los alumos insistirán en que ¡¡¡ (3/4 x + 1/2 y)(3/4 x - 1/2 y) = 9/4 x^2 - 1/2 y^2 !!! o bien ¡¡¡ 9/16 x^2 + 1/4 y^2 !!!
La insistencia y el recalcar en estas Igualdades Notables, es fundamental para la correcta aplicación de las fórmulas por los alumnos.
