En esta entrada de hoy, dada mi experiencia como profesor de matemáticas, voy a profundizar en las variaciones, combinaciones y permutaciones.
La llamada Combinatoria es una técnica matemática para realizar conteos de agrupaciones. Y es que en muchos problemas, se plantea conocer el número de grupos a que da lugar un conjunto de elementos. Así podemos averiguar ¿cuántas columnas tendríamos que rellenar en una quiniela de 14 partidos, para acertar con total seguridad un pleno al 14. O bien ¿cuántos coches se podrán matricular con tres letras de 26, que se pueden repetir y tres números?
Su uso es muy importante en Pobabilidad, por lo que la explicación de la Combinatoria, siempre precede a aquella.
Variaciones
Supongamos que queremos formar todas las palabras de 2 letras, tengan o no sentido, con A, B y C, sin que se repitan.
Una podría ser AB, otra BA, otra AC. Veamos cuántas:
formamos un diagrama A -------- B (AB) B ------ A (BA)
A -------- C (AC) C ------- A (CA)
B -------- C (BC) C -------- B (CB)
Nos salen 6 casos. Son Variaciones de 3 elementos (A,B,C) agrupados de dos en dos.
V3,2 = 3.2 = 6
Y si queremos saber las palabras de tres letras que podemos formar con A,B,C,D, tendremos V4,3 = 4.3.2 = 24
Se llaman Variaciones de m elementos agrupados de n en n Vm,n a todos los grupos distintos que podemos formar con esos m elementos, agrupados de n en n, de tal manera que cada uno sea diferente o bien por la naturaleza de algún elemento, o por el orden y sin que se repitan. V m,n = m(m-1)(m-2)......hasta contar n factores.
Ejemplo 1. Con los 7 colores del arco iris, ¿cuántas banderas tricolores distintas podemos formar?
Sean A,B,C,D,E,F,G los colores. Una bandera podrá tener la primera franja A, la segunda B y la tercera C, es decir A Y otra distinta B Y otra distinta C ...........
B A D ...........
A C B ...........
Se diferencian o bien por tener colores distintos, o bien por el orden como están colocados. Una bandera de un país puede tener los mismos tres colores que otro pais, pero colocados en diferente orden.
Tenemos V7,3 = 7.6.5 = 210 banderas distintas.
Variaciones con repetición
Estamos en el mismo caso que el anterior, con la salvedad de que se pueden repetir.
Supongamos las letras A,B,C y queremos saber ¿cuántas palabras distintas de dos letras se pueden formar, pudiéndose repetir?
Tendremos AA, AB, AC, BA, BB, BC, CA, CB, CC Salen 9 VR3,2 = 3^2 = 9
¿Y de tres letras? AAA, AAB, AAC, ABA,...... VR3,3 = 3^3 = 27
Son Variaciones con Repetición de m elementos agrupados de n en n, los diferentes grupos que podemos formar, diferenciádose en la naturaleza o en el orden y pudiéndose repetir.
VR m,n = m^n
Ejemplo 2. Se lanzan tres monedas,¿cuántos resultados distintos pueden salir?
Podrá salir CCC,CXC,XCC, .... VR 2,3 = 2^3 = 8 Son dos elementos C y X
¿Y si tenemos cuatro monedas? VR 2,4 = 2^4 = 16
Ejemplo 3. Hallar el nº de columnas distintas que tenemos que hacer, para acertar por lo menos un pleno al 14 en una quiniela de fútbol.
Los elementos son tres : 1, 2, X que se pueden repetir; se agrupan de 14 en 14. Por tanto son Variaciones con Repetición de 3 elementos con columnas de 14. VR 3,14 = 3^14 = 4.782.969
Ejercicio 1. Se lanzan tres dados. ¿cuántos resultados distintos pueden salir?
Ejercicio 2. De una clase de 20 alumnos se elige Delegado y Subdelegado. ¿De cuántas formas se podrá elegir?
Ejercicio 3. Hallar a) V 5,3 b) VR 3,4 c) V 4,3 d) VR 5,3
Permutaciones
Tenemos las letras A,B,C,D. ¿cuántas palabras diferentes, tengan o no sentido, podemos formar, sin que se repitan?
ABCD, ABDC, ADCB,....... P4 = 4.3.2.1= 24
Son las Permutaciones de m elementos, los diferentes grupos que podemos formar, entrando todos los elementos en cada grupo, y diferenciándose por el orden de colocación.
Pm = m(m-1)(m-2). .....2.1 = m ! (leído, m factorial)
Realmente Pm = Vm,m
Para números altos utilizamos la calculadora, con la tecla nPr, y SHIFT
Así P12 = 479001600, P8 = 40320
Ejemplo 4. ¿De cuántas formas podemos colocar en diez pupitres a 10 alumnos?
Tiene que entrar todos en cada formación, son P10= 10! = 10.9.8.7.6.5.4.3.2.1 = 3628800
Existe una tecla en la calculadora, con desvío de SHIFT, para estos cálculos
Ejercicio 4. Hallar a) P5 b) VR 4,2 c) V6,2
Combinaciones
Ahora se habla de conjuntos, en vez de agupaciones. Partimos de que el conjunto A = (1, 2) es lo mismo que el conjunto (2, 1). Es decir el orden No hace diferentes a los conjuntos.
Sean las letras A, B, C, ¿cuántos conjuntos distintos de dos elementos podemos formar?
Tendremos: (A,B), (A,C), (B,C) Sólo 3. C3,2 = 3.2 / 2.1 = 3
Las Combinaciones de m elementos tomados de n en n, son los diferentes conjuntosde n elementos, que podemos formar con los m elementos dados.
Cm,n = Vm,n / Pm = m(m-1)(m-2).../ m!
Así C4,2 = 4.3 / 2.1 = 6 Significa por ejemplo que de un conjunto de 6 personas, podemos formar 4 conjuntos diferentes de dos personas.
C2,2 = 2.1/ 2.1 = 1 Significa que de un conjunto de dos personas sólo podemos formar un conjunto de dos personas, cosa evidente, pues el conjunto (Juan, Pepe) es el mismo que el conjunto (Pepe, Juan)
C4,1 = 4 / 1 = 4 Significa que de un conjunto de 4 personas podemos formar 4 conjuntos de una persona.
Ejercicio 5 . ¿Y por qué C0,0 = 1?
Ejemplo 5. De un pelotón de 10 soldados queremos saber cuántas guardias distintas de 3 soldados podemos formar.
Son combinaciones, pues si una guardia la hacen digamos P, J, D, No será distinta de la guardia hecha por J, D, P. Son C10,3 = 10.9.8 / 3.2.1 = 120 guardias distintas.
Los cálculos con números altos se pueden hacer con la calculadora, pues existe una tecla que combinada con SHIFT lo resuelve. Es la nCr
Así C20,4 = 4845 C15,5 = 3003
Y si hacemos con la calculadora C15,14 = 15, y C15,1 = 15.
Es decir ocurre que Cm,n = Cm,m-n. esto simplifica mucho los cálculos pues sinos piden, por ejemplo C76,74 = C76,2 = 76.75 / 2.1 = 2850.
Por tanto hay una simetría en las combinaciones
C0,0 = 1
1 = C1,0 C1,1 = 1
1 = C2,0 C2,1 C2,2 = 1
1 = C3,0 C3,1 C3,2 C3,3 = 1
1 = C4,0 C4,1 C4.2 C4,3 C4,4 = 1
.......................................................................................
Es el conocido Triángulo de Tartaglia o de Pascal, donde se aprecia la simetría:
C1,0 = C1,1
C2,0 = C2,2
C3,0 = C3,3 y C3,1 = C3,2
C4,0 = C4,4 y C4,1 = C4,3
.................................................
Además C2,1 = C1,0 + C1,1
C3,1 = C2,0 + C2,1
C3,2 = C2,1 + C2,2
C4,1 = C3,0 + C3,1
C4,2 = C3,1 + C3,2
C4,3 = C3,2 + C3,3
También se verifia que los lados laterales valen 1:
C0,0 = C1,0 = C1,1 = C2,0 = C2,2 = C3,0 = C3,3 = C4,0 = C4,4 = ..... = 1
Ejercicio 6. Comprobar mediante la fórmula de las Combinaciones, algunas de las igualdades anteriortes.
Ejercicio 7. Hallar, sin calculadora: a) VR6,4 b) 4! c) P4 d) C45,44 d) C23,21 e) C6,6
Permutaciones con repetición
Tenemos 10 libros, tres iguales de Matemáticas, dos iguales de Física, y cinco iguales de Química. ¿De cuántas formas distintas lo podemos colocar en una estantería?
Tienen que intervenir todos; si se pudieran diferenciar entre los de cada asignatura, tendríamos permutaciones de 10 elementos, P10. Con los de Matemáticas tenemos P3, con los de Física P2 y con los de Química P5. pero al ser iguales los de cada asignatura, tendremos que:
PR10(3,2,5) = P10 / (P3.P2.P5) = 10! / 3! 2! 5! = 3628800 / 1440 = 2520 formas
Las Permutaciones con Repetición de m elementos que se repiten de p en p, de q en q, de r en r, ...son las diferentes ordenaciones de esos m elementos, tales que m = p + q + r + ...
Viene dada por PRm(p,q,r,..) = Pm / Pp.pq.pr. ..= m! / p!.q!.r!
Ejemplo 6. Tenemos 3 cajas de zapatos iguales de caballero, 4 cajas de zapatos iguales de señora y 2 cajas de zapatos iguales de niño. ¿De cuántas formas podemos poner todas las cajas en una estantería?
En cada forma de ponerlas intervienen todas las cajas; el orden si importa y se repiten elementos.
PR 9(3,4,2) = 9! / 3!.4!.2! = 362880 / 288 = 1260 formas.
Ejemplo 7. Con los números 2, 2, 4, 4, 4, 5, 5, 5 ¿cuántos números de 8 cifras podemos formar?
PR8(2,3,3) = 8! / 2!.3!.3! = 40320 / 72 = 560 números
Aplicaciones
La Agencia que fue fundada en 1967 y con fines de fraternidad, por un grupo de estudiantes canarios en Santander, cuenta en la actualidad con 40 Agentes. Todos con formación científica entre Ingenieros de Caminos, Ingenieros Industriales, Matemáticos, Físicos y Farmaceúticos. Su lema es "Abscondamus Tendiculas, Studium et Investigare", es decir Estar al acecho, Estudio e Investigación.
Ejemplo 8. ¿De cuántas formas podremos elegir a 3 Agentes de la mencionada Agencia?
Vemos que no se pueden repetir; en cada agrupación formada no influye el orden. Cada elección es distinta por la naturaleza de cada Agente. Imaginemos al trío de Agentes "Intuición", "Grave" y "Anfitrión", vaya los teldenses. Si variamos el orden, vemos que es el mismo trío. Por eso el orden no diferencia.
Tenemos C40,3 = 40.39.38 / 3! = 9880 trios de Agentes diferentes.
Ejemplo 9. Se quiere formar una comisión directiva de La Agencia formada por un Jefe, un Superagente y un Secretario. ¿De cuántas formas podrá elegirse, si sólo se pesentan los Agentes "Doble", Tambor", "Musical", "Bodeguero", "Hibulaire", y "Curso a Curso", es decir los Chicharreros?
La comisión directiva consta de tres Agentes, elegibles de los 6 mencionados, que para simplificar llamaremos D, T, M, B, H y C.
Podría salir Jefe Superagente Secretario
D M T
M T D Vemos que el orden cuenta.
B D T
C B H Vemos que la naturaleza cuenta.
Y claro no se pueden repetir, por mucho que se llame AG "Doble", no puede acaparar dos cargos....
Por tanto son V6,3 = 6.5.4 = 120 formas diferentes.
Ejemplo 10. Se reunen para un emboste los Agentes "Ósmosis", "Mondoñedo", "Riqui-Raca", "Departamentos", " Elvis", "Intuición", "Depth of Field" y "Mostacho". ¿De cuántas maneras distintas se podrán sentar en una mesa circular?
Es evidente que todos los 8 participan; otra cosa será "el saque" de cada uno, que no interviene en esta cuestión, pero que sabemos quien lo tiene en demasía. Se permutarán en la mesa, empezando por uno. son permutaciones cíclicas
PC8 = P7 = 7! = 5040 formas de sentarse.
Ejemplo 11. Se va a organizar el Cónclave 2 de la Agencia en Mallorca, al que van 35 Agentes con sus Mataharis. En las postrimerías del evento, bien anfitrionado por AG "Gurú", se organizará un baile, y al final de él la consavida Conga, encabezada siempre por el AG "Doble". ¿De cuántas formas se podrá formar la bullangera fila encadenada?
Como reza el enunciado y es lógico, el Agente "Doble" dirige la serpenteante formación, siempre estara fijo en primera posición. El resto de Agentes y Mataharis son 35 + 35 - 1 = 69
Es evidente que todos participan, y el orden de colocación cuenta. Son pues Permutaciones.
P69 = 69! = 1´711224524. 10^98 formas diferentes de confeccionar el posicionamiento.
Ejemplo 12. Para confeccionar la bandera insignia de la Agencia, su Departamento de Corte y Confección dispone de géneros de 8 colores diferentes. Se quiere hacer el estandarte con tres franjas horizontales, cada una de un color. ¿Cuántas formas distintas de banderas podrá el mencionado Departamento formar?
Supongamos los 6 colores: A,B,C,D,E,F,G,H
FRANJA SUPERIOR FRANJA MEDIA FRANJA INFERIOR
A B C
B A C son banderas distintas
D F G
B A C son banderas distintas
Vemos que influye el orden y la naturaleza, y claro no se pueden repetir, al ser una bandera tricolor. Son V8,3 = 8,7.6.5 = 1680 banderas
Ejemplo 13. Para proteger a la Sede Central de la Agencia (S.C.A.) se organiza un zona circunscrita a la S.C.A. y de forma dodecagonal regular.(ver figura al inicio) Se aposta, en misión de "Abscondamus Tendiculas", a doce Agentes, de los 18 que dispone La Agencia para esta misión, cada uno en uno de los 12 vértices. ¿De cuántas maneras podemos formar esta guardia?
Desde luego Permutaciones no pueden ser, pues no entran a la vez, los 18 Agentes al acecho. Tampoco Variaciones con Repetición, ni variaciones pues siempre serían los mismos Agentes cambiados de posición. Son pues Combinaciones C15,12 = 455 formas de hacer la guardia.
Ejercicio 8. Dentro de la Agencia existen grupos destacados por sus investigaciones. Uno de ellos es el TOCAT, formado por los Agentes "Depth of Field", "Mondoñedo", "Barretina" y "Mostacho". Intentaron averiguar el llamado Caso D. Lucas, y sospecharon de 3 Recontras que ejercían por las cercanías de la Avda de Pontejos. Se apostaron en las cuatro esquinas del Casino, pues detectaron que los Recontras estaban dedicados al vil juego. Si cada Agente se hace cargo de un Recontra, ¿cuántas formas de ataque tienen, para anular al maligno mencionado?
Ejercicio 9. En la zona aledaña a Lomo Magullo, Las Palmas, se ha detectado una célula de formación de Recontras. Se realiza una misión de Abscondamus Tendiculas, y dirigida por el Agente "Grave", otrora experto en estas lides, acompañados de los Agentes "S.J. de Luz", "Infraestructuras", "101", "Trama" y "Sabía Demasiado". Se matriculan en la citada célula de formación, en pareja. ¿Cuántas agrupaciones, duos diferentes, podrá formar el Agente "Grave" para esta infiltración? El AG "Grave" sólo actua de Director, no de infiltrado.
¿Buscas clases de matemáticas online?
Organigrama de decisión
Sirve para averiguar el tipo de agrupación de elementos
¿Se utilizan todos los elementos?
SI NO
¿Se pueden repetir? ¿Influye el orden?
SI NO SI NO
PR m(p,q,..) Pm Cm,n
¿Se `pueden repetir?
SI NO
VRm,n Vm,n
SOLUCIONES
1) 216
2) 380
3) a) 60 b) 81 c) 24 d) 125
4) a) 120 b) 16 c) 15
5) Porque el nº de subconjuntos de cero elementos, que podemos formar con un conjunto de cero elementos, es uno, cual es el conjunto vacío.
6) C4,3 = C3,2 + C3,3 4 = 3 + 1 Correcto
7) a) 1296 b) 24 c) 24 d) 45 e) 1
8) 4
9) 15
