En las clases de matemáticas de Bachillerato, el bloque de análisis constituye uno de los bloques más importantes de Selectividad, tanto en Matemáticas II como en Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales, en todas las comunidades autónomas. Dentro de este bloque, es muy común encontrar ejercicios en los que se pide estudiar la continuidad y la derivabilidad de una función como eje principal.
Muchos alumnos saben derivar una función, pero no tienen claro cuándo una función es continua, cuándo es derivable o qué relación existe entre ambos conceptos. Si sientes que te has quedado atrás, unas clases de recuperación de matemáticas pueden ayudarte a ponerte al día antes de avanzar con este tema.
Para este tema no basta con saberse las fórmulas de memoria, sino que es fundamental entender los conceptos y los pasos que hay que seguir en los ejercicios para conseguir la puntuación completa.
¿Qué es una función continua?
En Bachillerato y Selectividad, la continuidad se suele estudiar en funciones a trozos, es decir, funciones que cambian de expresión según el intervalo de x.
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Para estudiar la continuidad de una función en un punto x = a, se debe cumplir que:
Es decir:
límite por la izquierda = límite por la derecha = valor de la función en ese punto
Si se cumple esta igualdad, la función es continua en x=a. Si no se cumple, la función no es continua en ese punto y estaríamos ante algún caso de discontinuidad, ya sea discontinuidad evitable, salto finito o salto infinito.
Ejemplo:
En este ejemplo, el punto que debemos estudiar es x = 3, porque es donde la función cambia de expresión.
Primero calculamos el límite por la izquierda, usando el tramo 2x + 1, ya que ese tramo corresponde a los valores menores que 3. Al sustituir x = 3, obtenemos 7.
Después calculamos el límite por la derecha, usando el tramo x² - 2, porque ese tramo corresponde a los valores mayores o iguales que 3. Al sustituir x = 3, también obtenemos 7.
Por último, calculamos el valor de la función en x = 3. Como el segundo tramo incluye el caso x ≥ 3, usamos x² - 2, y de nuevo obtenemos 7.
Por tanto, el límite por la izquierda, el límite por la derecha y el valor de la función coinciden. La función es continua en x = 3.
¿Qué es una función derivable?
La derivabilidad también se estudia normalmente en funciones a trozos. En estos casos, los puntos importantes son aquellos en los que la función cambia de expresión, ya que son los puntos donde debemos comprobar si la función es derivable. Antes de avanzar, puede ayudarte repasar qué es la derivada de una función y para qué sirve.
Para estudiar la derivabilidad de una función en un punto x=a se debe cumplir que:
- La función sea continua en x=a (es decir, seguir los pasos del anterior apartado)
Es decir, la derivada por la izquierda y la derivada por la derecha deben coincidir.
Si se cumplen ambas condiciones, la función es derivable en x=a.
Ejemplo:
Relación entre continuidad y derivabilidad
Si una función es derivable en un punto → es continua en ese punto.
Pero cuidado:
Que una función sea continua en un punto no significa necesariamente que sea derivable en ese punto.
Para que sea derivable, además de ser continua, también se exige que la derivada por la izquierda y la derivada por la derecha sean iguales.
Continuidad y derivabilidad con parámetros
El temor de muchos estudiantes: un ejercicio en el que te piden hallar parámetros y parece que ya "no puedes seguir", o que no puedes aplicar los mismos pasos mecánicos que has practicado tantas veces. Repasar las tablas de derivadas más comunes puede ayudarte a recuperar la seguridad antes de enfrentarte a este tipo de ejercicios.
Pero la realidad es que sí puedes. La clave está en seguir el mismo procedimiento de siempre, pero teniendo en cuenta que ahora aparecerán letras, como a, b, m o k, que deberás calcular imponiendo las condiciones de continuidad o derivabilidad.
Es decir, en este tipo de ejercicios no cambia la teoría: cambian los datos. En lugar de comprobar simplemente si una función es continua o derivable, tendrás que encontrar qué valor debe tener el parámetro para que lo sea.
Cuando aparecen parámetros, lo primero es no entrar en pánico ni cambiar la forma de trabajar. Aunque veamos letras, el procedimiento sigue siendo el mismo: estudiar el punto donde la función cambia de expresión y aplicar las condiciones que correspondan.
- Mirar dónde cambia la función.
- Si el ejercicio nos pide estudiar la continuidad: para que la función sea continua, el límite por la izquierda, el límite por la derecha y el valor de la función tienen que coincidir. Cuando aparecen parámetros, al hacer esta igualdad nos saldrá una ecuación con letras. Podremos resolver la ecuación directamente o será una de las ecuaciones que necesitaremos para hacer un sistema de ecuaciones con otra ecuación que obtendremos al estudiar la derivabilidad.
- Si el ejercicio pide derivabilidad: derivamos cada tramo por separado y calculamos la derivada por la izquierda y por la derecha en el punto que estamos estudiando. Para que la función sea derivable, ambas derivadas laterales tienen que coincidir. Esta igualdad nos dará otra ecuación. Por eso, si aparecen dos parámetros, normalmente necesitaremos dos ecuaciones: una que sale de la continuidad y otra que sale de la derivabilidad.
Ejemplo:
En este ejemplo, el punto importante es x = 1, porque ahí cambia la función de expresión.
Como nos piden que sea derivable, primero comprobamos la continuidad. Al igualar los dos tramos en x = 1, obtenemos la ecuación a + b = 1.
Después derivamos cada tramo y hacemos que las derivadas laterales coincidan. De ahí sale que a = 2.
Por último, sustituimos ese valor en a + b = 1, por lo que b = -1.
Así, los valores que hacen que la función sea derivable en x = 1 son a = 2 y b = -1.
Claves para dominar la continuidad y la derivabilidad
Al final, este tipo de ejercicios no va solo de saber derivar o de aprenderse una fórmula de memoria. Lo importante es entender qué estamos haciendo en cada paso.
Primero miramos si la función encaja bien en el punto, es decir, si es continua. Después, si el ejercicio lo pide, comprobamos si las pendientes por la izquierda y por la derecha coinciden, que es lo que nos dice si la función es derivable.
Cuando aparecen parámetros, el procedimiento no cambia tanto como parece. Simplemente, en vez de obtener directamente un resultado, nos van saliendo ecuaciones que nos permiten calcular esos valores.
Prepara la Selectividad con un profesor
Por eso, mi consejo es practicar siempre con el mismo orden: localizar el punto donde cambia la función, estudiar la continuidad y, después, comprobar la derivabilidad si hace falta.
Una vez que se entiende esta estructura, estos ejercicios dejan de parecer tan difíciles y se vuelven mucho más mecánicos y fáciles de sacar la máxima puntuación en el examen.
