¡Muy buenas queridos alumnos!
Si pensabais que las Matemáticas iban a tratar simplemente de números y signos, ¡estáis equivocados! ¿Sabíais que además de esto, podéis encontrar operaciones con LETRAS? Parece asombroso, ¿verdad?
En este artículo vamos a aprender a resolver dos tipos de ecuaciones sencillas, cómo son las ecuaciones lineales y cuadráticas, en las que el objetivo es obtener la solución de nuestra letra, a quien llamaremos INCÓGNITA.
Ecuaciones lineales
Empecemos por las más sencillas: las ecuaciones lineales. Las llamamos lineales porque nuestra incógnita (usaremos la "x") es de primer grado, o lo que es lo mismo, tiene una ÚNICA SOLUCIÓN. ¡Veamos un ejemplo fácil!
- 2x + 5 = 7
Nuestro objetivo es obtener el valor de la "x", por tanto, la manera más sencilla de empezar es pasar todos los elementos que tengan "x" a un lado de la ecuación (del signo "="), y el resto, al otro.
De esta manera, la ecuación quedaría:
- 2x = 7 - 5
Vemos que el número 5 ha cambiado su signo, antes era positivo y ahora es negativo. Por eso debes recordar este truco: todo lo que está sumando pasa al otro lado restando, y viceversa. Así pues, la misma regla sirve para multiplicaciones y divisiones. Operemos ahora lo que tenemos:
- 2x = 2
Parece que ya casi tenemos la solución, pero nos queda un último paso. Sabemos cuanto vale "2x", pero nuestro objetivo es obtener el valor de una única "x", por tanto, la manera de proceder ahora es dividir entre 2 a ambos lados. Recuerda que en una ecuación, todo lo que hagas a un lado debe hacerse en el otro.
Así pues, la ecuación quedaría:
- 2x/2 = 2/2 -----> x=1
¡Ya tenemos la solución! x=1. Comprueba el resultado sustituyendo el valor en la ecuación original y podrás ver si lo has hecho bien. ¿Serías capaz de resolver este ejemplo?
- 4x - 10 = 2 (x - 2)
Ecuaciones cuadráticas
Compliquemos las cosas ahora un poco más. Nuestro objetivo es el mismo, obtener el valor de la "x", ahora bien, en este caso no tenemos una sola solución, ¡sino 2! (o ninguna, como en algunos casos). Esto es porque tenemos la incógnita elevada al cuadrado (x²).
Para resolverlas, tenemos que tener en cuenta primero la estructura que siguen, que es:
ax² + bx + c = 0, siendo a,b y c coeficientes, es decir, valores numéricos.
La forma de resolverlas será distinta dependiendo de si:
a) b=0
b) c=0
c) b y c ≠ 0
Veámoslas una a una:
Si b=0
Veamos este ejemplo:
- 2x² - 8 = 0
El primer paso para resolverlas es idéntico al de las ecuaciones lineales con una incógnita: pasar los elementos con "x" a un lado, y el resto al otro. Quedaría así:
- 2x² = 8
Dividimos por 2 a ambas partes:
- 2x²/2 = 8/2 -----> x²=4
Pero ahora resulta que no tenemos "x" sino "x²". ¿Sabes cómo deshacerte de ese 2? Efectivamente, utilizando la raíz cuadrada, ya que es la operación contrapuesta. Pero has de tener en cuenta algo MUY IMPORTANTE. La solución tiene ¡2 SIGNOS!: positivo y negativo. En nuestro caso:
x = ±2. Tanto si elevamos 2 como -2 al cuadrado obtenemos 4, por eso es muy importante tener en cuenta esto.
1: ¿Serías capaz de resolver este ejercicio?
- 3x² = 27
Si c=0
Veamos este ejemplo:
- 2x² - x = 0
Vemos que ahora tenemos todos los elementos con "x" en el mismo lado, ya que nos falta el coeficiente "c". La manera de proceder ahora es obtener lo que se denomina "factor común". ¿Y qué es este factor común?
Pues bien, no es ni más ni menos que el factor (número o letra) que se repite en ambos elementos (monomios), y que multiplica a ambos. En nuestro ejemplo, tanto "2x²" como "x" comparten un factor: "x", por tanto, será nuestro factor común.
Pero ahora debemos averiguar qué nos falta para completarlo, es decir, qué multiplica a "x" para que obtengamos "2x²" y "x". Puede ser complicado de entender, pero veréis como con la práctica os será mucho más fácil averiguarlo. En nuestro ejemplo, la ecuación quedaría:
- x (2x-1) = 0
Vemos que si multiplicamos "x" por "2x" obtenemos 2x², y si multiplicamos "x" por "1" obtenemos "x". Ya tenemos extraído el factor común, ahora falta obtener las soluciones. Para ello, dividimos la ecuación en dos partes: la que está fuera del paréntesis y la que está dentro. En nuestro caso:
- x = 0
- 2x - 1 = 0
Ya tenemos una de las soluciones directamente: x=0, y la otra se obtiene con una simple ecuación lineal. ¿Sabes resolverla? ¡Seguro que sí! Efectivamente, x=½. Y ya tendríamos ambas soluciones.
2: ¿Serías capaz de resolver este ejercicio?
10x² - 100x = 0
Si b y c ≠ 0
Llegamos al último de los casos y al más complejo, ya que en este TODOS los coeficientes están presentes: a, b y c.
Pongamos este ejemplo:
x² + 6x + 8 = 0
Para resolverla, tenemos que utilizar una de las fórmulas que más verás a lo largo de tu vida como estudiante: la fórmula del DISCRIMINANTE. Y es la siguiente:
No te asustes, sé que es una fórmula complicada al principio, pero simplemente tienes que sustituir los coeficientes a, b y c en la fórmula, y obtendrás las soluciones.
En nuestro caso, a=1, b=6 y c=8. Si sustituimos en la fórmula, y después de hacer todos los cálculos, obtenemos como soluciones:
x=-2
x=- 4
¿Serías capaz de resolver este ejercicio?:
x² + 4x - 5 = 0
Y esto es todo por ahora, el mundo de las ecuaciones es muy extenso y apasionante, y todavía quedan muchos casos por ver, como cuando tenemos una solución repetid, o incluso ninguna, pero eso lo veremos más adelante.
Espero que te haya servido muy útil este artículo para aprender un poco más sobre ellas y, si te ha quedado alguna duda o quieres aprender más, no dudes en escribirme para resolverlas u organizar una clase.
¡Nos vemos en la siguiente!
