¿Qué es la proporcionalidad directa?
Los problemas de proporcionalidad directa son como una conexión superclara entre dos cosas que siempre se mueven juntas en la misma dirección. Es como si fueran dos amigos que siempre están en sintonía. Como profesor de matemáticas, voy a tratar esta temática.
Por ejemplo, imagina que estás comprando camisetas en una tienda y cada camiseta cuesta 15 euros. Si decides comprar 2 camisetas, pagarías 30 euros en total, ¿verdad? ¡Eso es proporcionalidad directa! Si aumentas el número de camisetas, aumenta el dinero que gastas, pero en una proporción fija.
Otro ejemplo podría ser cuando estás llenando el depósito de gasolina de tu coche. Si cada litro de gasolina cuesta 1.5 euros, y decides comprar 20 litros, pagarías 30 euros en total. Si luego decides comprar el doble, es decir, 40 litros, pagarías el doble, 60 euros.
Así pues en los problemas de proporcionalidad directa, ¡siempre que aumentes una cantidad, la otra cantidad aumentará también! Y lo mismo, si disminuyes una, la otra también disminuirá. Es como si estuvieran bailando juntas en la misma pista de baile, ¡siempre sincronizadas! 😉
Algo más que aumentar y disminuir juntas
En el texto anterior se ha explicado que en la proporcionalidad, cuando aumenta una cosa, lo hace la otra, y lo mismo ocurre al disminuir. Sin embargo, a lo largo de la vida de una persona su altura aumenta a medida que pasa el tiempo, pero no siempre lo hace de la misma manera, ni al mismo ritmo.
Por tanto, hay que detenerse, y aprender bien qué significa la proporcionalidad directa.
Unión entre magnitudes
De entrada, observemos un detalle importante. Siempre que hablamos de proporcionalidad directa, en realidad estamos hablando de dos magnitudes relacionadas.
Una magnitud es cualquier cosa que podemos medir: la longitud es una magnitud, pero el amor, no.
En los ejemplos que hemos visto antes aparecían magnitudes vinculadas: número de camisetas y precio de las camisetas; volumen de combustible y coste del combustible.
Así pues, el primer paso para resolver un problema de proporcionalidad directa pasa por "detectar" las magnitudes que intervienen.
Descubriendo magnitudes
Veamos tres situaciones reales en las que se da la proporcionalidad directa y comprobemos qué magnitudes intervienen.
1. Si estás cocinando un pastel y sabes que necesitas 3 huevos por cada 2 raciones, ¿cuántos huevos necesitarás para hacer un pastel para 7 personas?
- Pareja de magnitudes: cantidad de huevos y cantidad de raciones.
2. Si conduces a una velocidad constante y has recorrido 60 kilómetros en 2,5 horas, ¿cuántos kilómetros habrás recorrido en 4,5 horas?
- Pareja de magnitudes: Distancia recorrida (en kilómetros) y tiempo de conducción (en horas).
3. Una fábrica produce 100 unidades de un producto en semana y media ¿Cuántas unidades producirá en un mes?
- Pareja de magnitudes: Producción de la fábrica (en unidades de producto) y tiempo transcurrido (en semanas).
La condición de regularidad, la clave de todo
La condición de regularidad en problemas de proporcionalidad es una característica que se cumple cuando dos magnitudes están relacionadas de manera proporcional de forma constante y uniforme.
Si no se da esta condición, no hay proporcionalidad directa.
La condición de regularidad se limita a saber cuántas unidades de una de las magnitudes aumentan cuando lo hace una unidad de la otra magnitud.
Para averiguar esto, basta con hallar la razón matemática entre ambas magnitudes.
En términos más específicos, si dos magnitudes \(x\) e \(y\) están relacionadas de manera proporcional, la condición de regularidad implica que su razón \(y/x\) es constante. Matemáticamente, esto se expresa como:
\[ \frac{y}{x} = k \]
Donde \(k\) es una constante de proporcionalidad.
Veamos cómo aplicar todo esto a los ejemplos anteriores:
1. Si estás cocinando un pastel y sabes que necesitas 3 huevos por cada 2 raciones, ¿cuántos huevos necesitarás para hacer un pastel para 7 personas?
- Pareja de magnitudes: cantidad de huevos y cantidad de raciones.
Si hallamos la razón entre cantidad de huevos y raciones tendremos: \[ \frac{3}{2} = 1,5 \] huevos por cada ración.
Es decir, necesitamos 1,5 huevos por cada persona. Como queremos saber los huevos necesarios para hacer un pastel para 7 personas, el cálculo ahora es súper fácil: 1,5x7=10,5 huevos.
Pero aún hay más. También podríamos averiguar cuántas personas son necesarias por cada huevo que añadamos. Bastaría con calcular la razón inversa:
\[ \frac{2}{3} = 0,7 \]
Hacen falta 0,7 personas por cada huevo que añadamos.
2. Si conduces a una velocidad constante y has recorrido 60 kilómetros en 2,5 horas, ¿cuántos kilómetros habrás recorrido en 4,5 horas?
- Pareja de magnitudes: Distancia recorrida (en kilómetros) y tiempo de conducción (en horas).
Como queremos calcular los kilómetros recorridos en 4,5 horas, nos interesa saber cuánto recorre en cada hora. Así hallamos la siguiente razón:
\[ \frac{Distancia}{tiempo}\]
\[ \frac{60}{2,5} = 24 \]
Es decir que recorremos 24 kilómetros por cada hora. Como queremos saber el recorrido después de 4,5 horas , el cálculo ahora es: 24x4,5=108 kilómetros.
Y de nuevo podemos hallar la razón inversa \[ \frac{2,5}{60} = 0,042 \] que nos informa sobre el tiempo invertido por cada kilómetro recorrido.
3. Una fábrica produce 100 unidades de un producto en semana y media ¿Cuántas unidades producirá en un mes?
- Pareja de magnitudes: Producción de la fábrica (en unidades de producto) y tiempo transcurrido (en semanas).
Como queremos calcular las unidades producidas en un mes nos interesa saber cuánto produce cada semana. Así hallamos la siguiente razón:
\[ \frac{Unidades}{tiempo}\]
\[ \frac{100}{1,5} = 66,7 \]
Es decir que produce 66,7 unidades cada semana. Como queremos saber lo producido en un mes (que asumimos como 4 semanas) , el cálculo ahora es: 4x66,7=266,8 unidades.
Y de nuevo podemos hallar la razón inversa \[ \frac{1,5}{100} = 0,015 \] que nos informa sobre el tiempo invertido por cada unidad producida.
Olvídate de la regla de tres y entiende lo que haces
Como ves, esta forma de abordar los problemas de proporcionalidad se basa en comprender lo que se está haciendo, entenderlo dándole un significado claro. No consiste en aprender un mecanismo aprendido de forma rutinaria. De esta manera el aprendizaje que habrás alcanzado será duradero, porque tú mismo habrás conectado de forma lógica las situaciones de proporcionalidad directa y su resolución. 💪💭
