Toda Función puede ser representada, dibujada, y así podremos observar lo que le ocurre en un punto de esa curva, y en sus proximidades. Pero esta representación no es nada fácil en cuanto la función sea compleja, y más si es en tres o más dimensiones.
Pero el Análisis Infinitesimal, con los Límites de funciones, nos da una herramienta prática y precisa, para saber lo anterior, sin realizar la representación de la función. Es como en medicina interna, se hace un diagnóstico a través de la realización de un Análisis de sangre u orina, sin observar mediante imagen.
Realmente tenemos cuatro tipos de límites de funciones, a saber:
1) Límite de una función en un punto lim f(x) = l, nº real, cuando x tiende, se aproxima a un punto.
2) Límite finito en el infinito lim f(x) = l, cuando x tiende a infinito.
3) Límite infinito en el infinito lim f(x) = infinito, cuando x tiende a infinito.
4) Límite infinito cuando x tiende a un punto lim f(x) = infinito, cuando x tiende a un punto.
Para calcular un límite de una función, lo primero que se hace es sustituir el número o el infinito en la función. Nos puede dar un número, o una Indeterminación, algo desconocido.
Así lim 4x - 3 cuando x tiende a 2, es 5, pues al sustituit tenemos 4.2 - 3 = 8 - 3 = 5
lim 5x + 2 cuando x tiende a cero, es 2 , pues al sustituir tenemos 5.0 + 2 = 0 + 2 = 2.
lim 1/x cuando x tiende a infinito, se va haciendo la x cada vez más grande, nos queda un 1 dividido por una cantidad cada vez nayor, que se va al cero lim 1/x = 0. Pero que quede bien claro que f(0), concrétamente el valor de la función en x = 0, no existe, pues 1/0 está indeterminadol. Hazlo en la calculadora y te sale ERROR. Es decir descubrimos que al aproximarnos con la x al cero, la función tiende a irse al infinito.
Decimos lim 1/x = 0 cuando x tiende a infinito y No existe f(0)
Si tratamos de resolver lim (3x - 2)/x, cuando x tiende a infinito, nos sale infinito/infinito, que es una indeterminación. Tenemos que quitar esa indeterminación, para lo cual se utilizan procedimientos, métodos, En éste caso se dividen los coeficientes de los términos del mismo grado, y nos queda 3/1 = 3, Por tanto lim (3x - 2)/x = 3, cuando x tiende a infinito. Sin representar, sin ver, esa funcion fx) = (3x - 2)/x, descubrimos que cuando la x la hacemos cada vez mayor, la función tiende a pegarse a la recta horizontal y = 3, pero nunca llega a tocarla. De ahí nace el concepto de Asíntota Horizontal de una función, que dejamos para otro Blog.
Por tanto que quede claro que los Límites de funciones son una herramienta matemática, que nos hace averiguar lo que le ocurre a la función en las proximidades de puntos o el infinito, y todo sin ver, representar, la función. ¡¡Menuda herramienta!!
