INTRODUCCIÓN
Los sistemas de ecuaciones lineales están formados por varias ecuaciones de primer grado, con varias incógnitas.
Así 2x - 3y + z = 1
x + y - z = 0
3x - y + 2z = - 1 es un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas.
Para su resolución se emplea el método matricial de Gauss, que triangulariza el sistema, obteniendo otro sistema equivalente y fácil de resolver. En este caso se transforma en el sistema:
x + y - z = 0
- 5y + 3z = 1
13z = - 9 Que fácilmente se resuelve, pues z = - 9 / 13, y sustituyendo en la segunda ecuación nos queda y = 8 /13. Sustituimos en la primera y obtenemos z = -17/13
Por tanto la solución única es: x = - 1/13, y = - 8/13, z = - 9/13
Se dice que es un Sistema Compatible Determinado, pues tiene una única solución.
Pero puede suceder que el sistema tenga infinitas soluciones, y le llamamos Sistema Compatible Indeterminado. Y si no tiene solución, se le denomina Sistema Incompatible.
TEOREMA DE ROUCHÉ-FRÖBENIUS
Está basado en el Rango de la matriiz de los coeficientes (A) y la matriz ampliada con los términos independientes (A´)
Si r(A) = r(A´) = nº incógnitas, el Sistema es Compatible Determinado.
Si r(A) = r(A´) < nº incógnitas, el Sistema es compatible Indeterminado.
Si r(A) es distinto al r(A´), el sistema es Incompatible.
Rango de una matriz
Es el número de filas o columnas linealmente independientes. Es el orden del mayor determinante distinto de cero.
También se puede calcular triangularizando la matriz A´. Si sale una fila toda cero quiere decir que es combinación lineal de las anteriores.
Ejemplo. Hallar el rango de A y de la matriz ampliada del sistema:
x + 2y + 3z = - 1
2x + y - z = 0
3x + 3y + 2z = 1 Formamos la matriz Ampliada, A´:
1 2 3 -1
2 1 -1 0
3 3 2 1 La triangularizamos:
Hacemos cero el elemento a21. Para ello multipicamos la Fila 1 por -2 y la sumamos a la segunda, y nos queda:
1 2 3 -1
0 - 3 - 7 2
3 3 2 1
Hacemos cero el elemento a31, multiplicando la Fila 1 por - 3 y la sumamos a la tercera, y nos queda:
1 2 3 - 1
0 - 3 - 7 2
0 -3 - 7 4
Hacemos cero el elemento a32, restando a la fila 2 la fila 3, y nos queda:
1 2 3 - 1
0 -3 - 7 2
0 0 0 - 2 Esta es la matriz triangularizada, observando que:
r(A) = 2 y r(A´) = 3, por lo que el sistema será Incompatible.