Los sistemas de ecuaciones lineales y el Teorema de Rouché-Fröbenius

INTRODUCCIÓN

Los sistemas de ecuaciones lineales están formados por varias ecuaciones de primer grado, con varias incógnitas.

Así 2x - 3y + z = 1

x + y - z = 0

3x - y + 2z = - 1 es un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas.

Para su resolución se emplea el método matricial de Gauss, que triangulariza el sistema, obteniendo otro sistema equivalente y fácil de resolver. En este caso se transforma en el sistema:

x + y - z = 0

- 5y + 3z = 1

13z = - 9 Que fácilmente se resuelve, pues z = - 9 / 13, y sustituyendo en la segunda ecuación nos queda y = 8 /13. Sustituimos en la primera y obtenemos z = -17/13

Por tanto la solución única es: x = - 1/13, y = - 8/13, z = - 9/13

Se dice que es un Sistema Compatible Determinado, pues tiene una única solución.

Pero puede suceder que el sistema tenga infinitas soluciones, y le llamamos Sistema Compatible Indeterminado. Y si no tiene solución, se le denomina Sistema Incompatible.

TEOREMA DE ROUCHÉ-FRÖBENIUS

Está basado en el Rango de la matriiz de los coeficientes (A) y la matriz ampliada con los términos independientes (A´)

Si r(A) = r(A´) = nº incógnitas, el Sistema es Compatible Determinado.

Si r(A) = r(A´) < nº incógnitas, el Sistema es compatible Indeterminado.

Si r(A) es distinto al r(A´), el sistema es Incompatible.

Rango de una matriz

Es el número de filas o columnas linealmente independientes. Es el orden del mayor determinante distinto de cero.

También se puede calcular triangularizando la matriz A´. Si sale una fila toda cero quiere decir que es combinación lineal de las anteriores.

Ejemplo. Hallar el rango de A y de la matriz ampliada del sistema:

x + 2y + 3z = - 1

2x + y - z = 0

3x + 3y + 2z = 1 Formamos la matriz Ampliada, A´:

1 2 3 -1

2 1 -1 0

3 3 2 1 La triangularizamos:

Hacemos cero el elemento a21. Para ello multipicamos la Fila 1 por -2 y la sumamos a la segunda, y nos queda:

1 2 3 -1

0 - 3 - 7 2

3 3 2 1

Hacemos cero el elemento a31, multiplicando la Fila 1 por - 3 y la sumamos a la tercera, y nos queda:

1 2 3 - 1

0 - 3 - 7 2

0 -3 - 7 4

Hacemos cero el elemento a32, restando a la fila 2 la fila 3, y nos queda:

1 2 3 - 1

0 -3 - 7 2

0 0 0 - 2 Esta es la matriz triangularizada, observando que:

r(A) = 2 y r(A´) = 3, por lo que el sistema será Incompatible.

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