Didáctica de distancias entre puntos, rectas y planos en el espacio (II)

INTRODUCCIÓN

Siguiendo la misma didáctica, ilustramos los diferentes casos que vamos a tratar, que nos servirán de apoyo en las explicaciones y conseguir que los alumnois empleen el razonamiento, y no la memorización de fórmulas, que aplican directamente.

1) Distancia entre una recta y un plano.

2) Distancia entre dos rectas.

1) DISTANCIA ENTRE UNA RECTA Y UN PLANO

La recta ha de ser paralela al plano ( n x v = 0), pues en caso contrario la distancia es nula.

Dibujamos un plano con su vector asociado n, y una recta r paralela con su vector director v.

Tomamos un punto cualquiera de la recta P, y trazamos una recta, s perpendicular al plano, que lo corta en el punto A.   d(r, plano) = I PA I

Vemos que A lo conseguimos como intersección del plano dado y la recta s, que está determinada por el punto P, siendo su vector director n.

Ejemplo 1.  Hallar la distancia de la recta r a un plano, siendo:

 r : (x - 1) / 2 = (y + 2) / - 1 = (z - 1) / 5   y el  plano  x - 3y - z + 5 = 0.

d (r, plano) = I PA I   P es un punto cualquiera de la recta  r,  P( 1, - 2, 1). La recta r viene dada por este mismo punto y su vector director es    n (1, -3, -1), es decir,

  r :  x = 1 + t,  y = - 2 - 3t,  z = 1 - t

El punto A lo localizamos resolviendo el sistema formado por el plano y la recta r. Sustituimos la recta en el plano y nos queda: 1 + t - 3(- 2 - 3t) - (1 - t) + 5 = 0   implica  t = - 1

Sustituimos en la recta y tenemos el punto A (0, 1, 2)

Entonces    d(r, plano) = I PA I = Raiz( (0 - 1)^2 + (1 + 2)^2 + (2 - 1)^2) = Raiz 11

Ejercicio 1.   Hallar la distancia de la recta r  (x - 1) / 2 = (y + 1) = (z - 2) / 3 al plano de ecuación     2x - 3y + z - 1 = 0

2) DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS

a) Si las rectas se cortan (S.C.D.), o superponen (S.C.I.) la distancia es cero.

b) Si las rectas son paralelas (S.I.) y están situadas en el mismo plano.

c) Si las rectas se cruzan (S.I.)

b) Dibujamos las rectas en un plano, r y s. Cogemos un punto P de r, y tenemos que hallar otro punto A de s, que sea perpendicular. Trazamos por P un plano perpendicular a las rectas. Dibujamos su vector asociado n que coincide con el vector director v de r. Este plano queda definido por P, n = v

Localizamos el punto A de intersección de este plano con la recta s, resolviendo el sistema formado por el plano y la recta s.

d(r, s) = I PA I

Ejemplo 2.    Hallar la distancia entre la recta  r:  (x -1) / 2 = (y + 1) / -1 = z + 3 y la recta s de ecuación  (x + 2) / 4 = y / - 2 = (z - 1) / 2

d( r, s) = I PA I     P pertenece a r, por tanto P( 1, - 1, - 3). El punto A de la recta s está en la perpendicular. Lo localizamos como intersección de la recta, s y de un plano perpendicular a ellas. Este plano pasa por P y n = v(2, - 1, 1) Es decir 2x + - y + z + D = 0. Como pasa por P, lo satisface  2 +1 - 3 + D = 0   implica   D = 0.  El plano es  2x  - y + z = 0.

La recta, s en paramétricas es  x = - 2 + 4t,  y = - 2t,  z = 1 + 2t. La sustituimos en el plano y nos queda  2( - 2 + 4t) + 2t + 1 +2t = 0   implica  12t = 3  implica  t = 1/4. Lo sustituimos en s y tenemos A( - 2 + 1, - 2/4, 1 + 2/4) = (- 1, - 1/2, 3/2)

d(r, s) = I PA I = Raiz (( - 1 - 1)^2 + (- 1/2 + 1)^2 + (3/2 + 3)^2)= Raiz (98) / 2 =  4´9

Ejercicio 2.  Hallar la distancia entre las rectas r: (x - 1)/ 2 = (y - 2) / - 1 = (z + 3) / - 2 y la recta de ecuación s: (x - 1) / - 4 = (y - 1) / 2 = (z - 1) / 4

c) Si las rectas se cruzan(S.I.)

Dibujamos dos planos paralelos. En el superior se encuentra r, en el inferior r´. Cogemos un punto P cualquiera de la recta r y trazamos una recta, s perpendicular al plano inferior. A es el punto de encuentro, que tenemos que localizar, pues  d(r, r´) = I PA I

El punto A lo localizamos como intersección de la recta,, s y el plano inferior.

Plano inferior: Pasa por B y su vector asociado n = v x u, producto vectorial.

La recta, s viene determinada por el punto P y su vector dirctor es v = n

Ejemplo 3.  Hallar la distancia entre las rectas r: x = 0, y = 0                                                                                                                                        r´: (x - 1) / 2 =(y + 2) / - 1 = (z - 3) 

d(r. r´) = I PA I   El punto A lo conseguimos como intersección del plano que pasa por r´ y la recta s perpendicular a  r.

En esquema sería  A, intersección de Plano inferior: B, n = v x u   y   recta s: P, v = n

Tomamos un punto P de la recta r,  P (0, 0 ,0).  Por él pasa la recta perpendicular de vector director v x u . Lo conseguimos con el determinante cuya primera fila es  i, j, k  y las componentes de v( 0. 0. 1),  u( 2, - 1, 1). Al desarrollarlo nos queda  i + 2j  por tanto n (1, 2, 0)

Plano que contiene a r´: x + 2y + D = 0. Como contiene a  la recta r, contiene a un punto de ella el B( 1, - 2, 3),    1 - 4 + D = 0   implica D = 3. El plano es x + 3y + 3 = 0

La recta, s pasa por P(0, 0, 0)  con v(1, 2, 0)       x = t,  y = 2t,  z = 0

Resolvemos t + 2.2t + 3 = 0   implica  t = - 3/5   A( - 3/5, - 6/5, 0)

d(r, r´)  = I PA I = Raiz (9/25 + 36/25) =  1/5 Raiz 45

Ejercicio 3.   Hallar la distancia entre las rectas      r:  (x + 1) = (y - 5) / 2 = (z + 1) / - 2    y la recta s:  x/2 = (y + 1) / 3 = (z - 1) / - 1    

SOLUCIONES

Ejercicio 1,    d = 7´7

Ejercicio 2.    d = 6

Ejercicio 3.    d = 4

CONCLUSIONES DIDÁCTICAS

Estos ejercicios se pueden resolver aplicando fórmulas "recetarias", con las que el alumno no razona el problema; tan sólo memoriza la fórmula a aplicar y susttituye datos, pues no se le exige la demostración.

Estas fórmulas son:

Distancia entre dos rectas paralelas:    d(r, s) = IPA x uI / IuI    Cualquiera que sea un punto  p de la recta r, cualquiera que sea un punto  a  de la recta s. El vector u de la recta s.

Distancia entre dos rectas que se cruzan:  d(r, s) = (PA, v, u)* / Iv x uI Cualquiera que sea P un punto de r, cualquiera que sea un punto A de s; v vector de r, u vector de s. El asrerisco es de producto mixto (PA, u, v)* = PA . (u x v)

Cada profesor verá qué es lo más conveniente para la formación de sus alumnos.