Las ecuaciones de la recta en el espacio

INTRODUCCIÓN

Una recta r  queda determinada cuando conocemos un punto de ella  A(x1, y1, z1) y un vector director  v(v1, v2, v3) (*)

ECUACIÓN VECTORIAL DE LA RECTA

Al vector de posición del punto A lo llamamos  a.  Tomamos un punto genérico de la recta  X.

Al vector de posición del punto X, lo llamamos  x

Se observa en la figura que el vector AX puede ser un vector director de la recta.

En la figura vemos que  x = a + AX,   AX = t. v

Por tanto nos queda   x = a + t. v   que es la ecuación vectorial

En coordenadas será   (x, y, z) = (x1, y1, z1) + t. (v1, v2, v3)

Ejemplo            La ecuación vectorial de la recta que pasa por (2, 1, - 3)  y tiene de vector director         v (4, - 1, 5)  es     (x, y, z) = (2, - 1, - 3) + t. ( 4, - 1, 5)

ECUACIONES PARAMÉTRICAS DE LA RECTA

De la ecuación vectorial tenemos:   

x = x1 + t. v1                                              

y = y1 + t. v2

z = z1 + t. v3

Ejemplo   Las ecuaciones paramétricas de la recta anterior son:

x = 2 + 4t

y = 1 - t

z = - 3 + 5t

Dando valores al parámetro  t, obtenemos puntos de la recta. Así, si t = 2, obtenemos  x = 10,

y = - 1,  z = 7, por lo que   (10, - 1, 7) es un punto de esa recta.

ECUACIÓN CONTINUA DE LA RECTA

De las ecuaciones paramétricas despejamos el parámetro t, e igulamos:

(x - x1) / v1 = (y - y1) / v2 = (z - z1) / v3

Ejemplo  La ecuación continua de la recta anterior es:

(x - 2) / 4 = (y - 1) / - 1 = (z + 3) / 5

ECUACIONES REDUCIDAS DE LA RECTA

Vienen dadas por la intersección de dos planos

Ax + By + Cz + D = 0

A´x + B´y + C´z + D´= 0

Este sistema sale compatible indeterminado, tiene infinitas soluciones, que son los puntos de la recta, quedando estructurada en forma paramétrica.

Ejemplo   Expresar en forma paramétrica la recta  dada por los planos:

3x + y - 2z - 1 = 0            Matricialmente    3   1   - 2     1

4x - 2y + 3z - 5 = 0                                      4  - 2    3     5       que equivale

3     1     - 2      1

0  - 10    17     11       Hacemos z = t  y tenemos  10 y = 11 - 17 z  es decir  y = -11(10) +17/10) t

3x = 1 + 2t + 11/10 - (17/10) t   implica 3x = 21/10 + (3/10) t

Por tanto la recta es   x = 31/30+ (3/10) t

                                   y = - 11/10 + (17/10) t

                                   z = t

PASO DE PARAMÉTRICAS A REDUCIDAS

Para ello pasamos las paramétricas a continua, e igualamos dos a dos.

Ejemplo   Dada la ecuación de la recta  r      x = 2 + t

                                                                       y = - 1 + 3t

                                                                       z = - 2 - t

Hallar las ecuaciones reducidas.

Pasamos a continua    (x - 2) / 1 = (y + 1) / 3 = (z + 2) / - 1

De la primera igualdad        3x - 6 = y + 1   implica     3x - y - 7 = 0

De la segunda igualdad   - y - 1 = 3 z + 6   implica   y + 3z + 7 = 0  que es la ecuación de esa recta, dada por dos planos.

(*) En la notación seguida, todo lo que lleve subíndice es un dato conocido.