Si la explicación de tu profesora de álgebra sobre los binomios notables te resultó confusa, este artículo te proporcionará una mirada sencilla y clara. A continuación, aprenderás para qué sirve aprender los binomios y verás ejemplos prácticos de algunos de los más usuales. Además, intentaré mostrarte cómo se conectan los binomios con la construcción y el diseño de viviendas. Este blog abarca desde los conceptos básicos hasta los usos y aplicaciones de los binomios.
Empezaré diciendo que en el mundo del diseño de interiores y la arquitectura, las variaciones en las dimensiones de los elementos son esenciales para optimizar el espacio. Cuando se trata de optimizar, las matemáticas son una ciencia que puede ayudarnos a solucionar los problemas de espacio y a lograr una mayor armonía visual. Entre las figuras geométricas que se destacan en esta disciplina, el cuadrado ocupa un lugar prominente, y aunque no lo creas, los binomios están relacionados con los cuadrados. Al explorar las conexiones entre las identidades notables y el diseño de espacios, nos adentraremos en el intrigante universo de los binomios al cuadrado y al cubo.
Identidades notables
Las identidades notables son fórmulas que nos permiten simplificar el producto de polinomios sin tener que aplicar la propiedad distributiva. Estas fórmulas son muy útiles para ahorrar tiempo y pasos en el cálculo algebraico, y también son patrones que se repiten frecuentemente en temas más avanzados como el cálculo diferencial e integral. Por eso, es importante conocer y dominar las identidades notables, ya que son herramientas que facilitan el manejo de las expresiones algebraicas y nos permiten resolver problemas de manera más eficiente.
Uno de sus principales usos es que estas reglas nos permiten transformar productos o potencias de sumas o restas en otras expresiones equivalentes, pero más sencillas. Algunas de las identidades notables más comunes son el cuadrado de una suma, el cuadrado de una resta, la suma por la diferencia y el cubo de una suma o resta. A continuación, vamos a explicar cada una de estas identidades con ejemplos y ejercicios, y veremos cómo nos pueden ayudar a resolver problemas matemáticos de forma más rápida y eficiente.
Binomios al cuadrado: Transformando espacios con elegancia
Cuando nos enfrentamos al desafío de modificar las dimensiones de un cuadrado, surge la necesidad de entender cómo estas variaciones afectan el área del espacio. Aquí es donde entran en juego las identidades notables y, específicamente, el cuadrado de la suma de dos términos.
Si aumentamos en b cada dimensión de un cuadrado de lado a, obtenemos un nuevo cuadrado de lado a+b.
El área de este nuevo cuadrado se convierte en una expresión algebraica.
La anterior expresión se puede explicar con la siguiente imagen:
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Cuadrado Inicial (Área a^2): La base del diseño, el cuadrado original que define nuestro punto de partida. En nuestra imagen se ve de color azul.
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Rectángulos (Áreas ab): Dos rectángulos congruentes, cada uno con área ab, representan la contribución del término de interacción 2ab en la expresión algebraica. En nuestra imagen se ven de color rosa.
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Cuadrado Adicional (Área b^2): El cuadrado adicional, con área b^2, captura la esencia del término b^2 en la fórmula. En nuestra imagen se ven de color verde.
La anterior identidad notable, con su capacidad para simplificar y factorizar expresiones polinómicas, se puede usar en herramientas esenciales en el diseño de espacios. Abordemos cómo puede ser aplicado de manera práctica en el cálculo de dimensiones para optimizar y embellecer habitaciones, como es el caso de una habitación cuadrada.
Imaginemos una habitación cuadrada con una longitud inicial de 3 metros en cada lado como se muestra en la figura. Si deseamos agregar una medida 2y a cada lado de la habitación, podemos utilizar la identidad notable del "Cuadrado de la Suma" para calcular la nueva área.
Aplicando la fórmula de la suma de un binomio al cuadrado, obtenemos:
La habitación original tenía una superficie de 9 metros cuadrados, mientras que los rectángulos tenían una superficie de 6y cada uno y el cuadrado de la esquina tenía una superficie de 4y al cuadrado.
Consideremos de nuevo nuestro cuadrado de lado "a". ¿Qué sucedería si al cuadrado, en lugar de aumentarle, le restamos una distancia b a cada lado? En ese caso, obtendríamos un nuevo cuadrado, pero que tiene lado "a-b". Por lo tanto, el área de este nuevo cuadrado se expresa mediante la siguiente fórmula algebraica.
El cuadrado original se puede dividir en un cuadrado de lado b, un cuadrado de lado (a - b) y dos rectángulos congruentes de dimensiones b y (a - b), como se muestra en la anterior figura. Por lo que deslizando podemos tener un cuadrado grande de área a^2, dos rectángulos de área ab-b^2 y un cuadrado de área b^2.
El área de este nuevo cuadrado se convierte en la siguiente expresión algebraica:
Imaginemos un escenario en el que queremos diseñar una plaza pública, y queremos incorporar un kiosco en cada esquina. Sin embargo, para garantizar un diseño estéticamente agradable, decidimos quitar una medida "x" xxxxx en cada esquina del cuadrado inicial, como se ve en la siguiente figura.
Sea "a" la longitud del lado del cuadrado inicial, y en este caso, asumamos a=10m. Para hallar la expresión algebraica que representa el área del parque cuando se le instalen los kioscos, debemos aplicar la fórmula del binomio de una diferencia al cuadrado.
Esta fórmula nos dice que (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2, donde a es el lado del cuadrado y b es la distancia que se le quita a cada lado del cuadrado que en este caso seria 2x. Entonces, el área del parque sería:
Esta explicación práctica, en los cuales se usan las identidades notables en casos de la vida real, te serán de utilidad para mejorar tu comprensión de los conceptos discutidos en la clase de matemáticas. ¡Espero que encuentres por fin para qué sirve un binomio al cuadrado! Si tienes interés en explorar ejercicios más avanzados, te animo a buscar en mi blog o a ponerte en contacto conmigo para discutirlos en una clase personalizada.
