En el estudio analítico de las funciones dependientes de una variable, y = f(x), lo primero que se hace es ver dónde existe, es decir, su campo de existencia, su dominio, dónde aparecerá su gráfica y en qué zonas no aparecerá. Como profesor de matemáticas, hoy voy a hablaros sobre las diferentes funciones, con diferentes ejemplos y ejercicios.
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Funciones polinómicas
Así, en las funciones dadas por un polinomio, como y = f(x) = 3x - 2, y = f(x) = x^4 - 3x^2 + 5, o y = f(x) = 6, etc., su dominio será todos los N.º reales, ya que para cualquier valor que le demos a la x, obtendremos un valor para la y. Sus gráficas vendrán dibujadas en toda la recta real. Los casos más comunes son las rectas y las parábolas.
Funciones racionales
Estas funciones se caracterizan porque siempre tienen, al menos, la x en el denominador. Así, las funciones y = f(x) = 1/x, y = 3 / (x - 2), y = 2x / (x + 3), y = (4x - 1) / (x^2 - 4), son funciones racionales.
Ejemplo 1. Supongamos la función y = f(x) = 1/x Si damos valores a x, vamos obteniendo sus correspondientes de y: x = 1 y = 1, x = 2 y = 1/2, x = - 3 y = - 1/3.......
Pero si damos a x el valor 0, obtenemos y = 1/0 SI LO HACEMOS CON LA CALCULADORA NOS SALE ERROR, claro no se puede dividir por cero. Por tanto, no encontramos la imagen del cero (0, ?), y no habrá ese punto en el gráfico. Es una hipérbola con "asíntota vertical"(*) el eje 0Y.
Concluimos diciendo que su dominio es D = R - (0)
Ejemplo 2. Hallar el dominio de la función y = f(x) = 3 / (x- 2)
Lo que se suele hacer es calcular dónde NO existe, para responder dónde existe. Y la técnica, el método es igualar a cero el denominador, para ver dónde se anula.
x - 2 = 0 implica x = 2. Por tanto, su D = R - (2)
Esto quiere decir que x = 2 no tiene imagen, no encontramos su y correspondiente, no tiene pareja (2,?)
Ejemplo 3. Hallar el Dominio de definición de y = (4 x - 7) / (x^2 - 9)
Para ver dónde no existe igualamos a cero el denominador y resolvemos la ecuación:
x^2 - 9 = 0, implica x^2 = 9, implica x = + - 3. Por tanto, D = R - (3, -3)
Ejemplo 4. Hallar el Dominio de definición de la función de y = (x - 4^2) / (x^2 + 1)
Como siempre, para ver dónde NO existe, igualamos el denominador a cero, y resolvemos la ecuación: (x^2 + 1) = 0, implica x^2 = - 1, implica x = raiz cuadrada de (- 1), que no tiene solución real. Por tanto, el denominador nunca se anula, y D = R
Ejercicio 1. Hallar el Dominio de definición de y = (x + 9) / (x^2 - 4x + 4)
Funciones irracionales
En estas funciones la x está dentro del signo radical, por lo menos. Así, y = Raiz (x), y = = Raiz (x^2 - 4), y = Raiz (4/x^2) son funciones irracionales.
Para hallar su Dominio, dónde existe, el radicando ha de ser mayor o igual a cero, para que exista la raíz. Así, si y = raiz (x), x >= 0, s decir D = R positivos, o bien (0, infinito), con cero inclusive.
Ejemplo 5. Hallar el dominio de definición de la función y = Raiz (x + 3)
Para que exista, el radicando ha de ser mayor o igual a cero, es decir x + 3 > = 0 implica que x>= 3. Por tanto, D = x>= 3, o bien D = (3, infinito), incluído el 3.
Ejemplo 6. Hallar el dominio de y = Raiz( (x - 4) / x)
Está definida si (x - 4) / x >= 0 Es una inecuación no simple, por lo que hacemos una tabla de signos. Para ello igualamos el numerador y el denominador a cero, independientemente:
Numerador x - 4 = 0, implica x = 4. Denominador x = 0 Y construimos la tabla:
(-infinito, 0) (0, 4) (4, infinito)
x - 4 - - +
x - + +
+ - + , por tanto, D = (-infinito, 0) U (4, infinito) incluido 4
Ejercicio 2. Hallar el dominio de definición de y = Raiz ((x - 1) / (x - 2))
Funciones logarítmicas
Son aquellas en las que la x se halla afectada con la expresión de logaritmo log.
Así, las funciones y = log x, y = log (x-5), y = log ((x -1) / x), y = x / log (x +2)
Como sabemos los logaritmos de números menores que cero no existen, y tampoco el log 0.
Ejemplo 7. Hallar el dominio de y = log (x - 6)
La función existirá siempre y cuando x - 6 > 0, es decir x > 6 Por tanto, D = (6, infinito)
Ejemplo 8. Hallar el dominio de definición de y = log ((x - 3) / 2x)
La función estará definida si ((x - 3) / 2x) > 0 hacemos la tabla de signos:
x - 3 = 0, implica x = 3. 2x = 0, implica x = 0
( - infinito, 0) (0. 3) (3. infinito)
x - 3 - - +
2x - + +
+ - + Por tanto, D = (- infinito, 0) U (3, infinito)
Ejemplo 9. Hallar el dominio de y = log (x^2 - 6x + 9)
Estará definida si (x^2 - 6x + 9) > 0
x^2 - 6x + 9 = 0, implica x = (6 +- Raiz(36 - 4.9)) / 2, implica x = 3(doble)
(- infinito, 3) (3, infinito)
(x - 3)^2 + + Por tanto, D = R - (3)
Nótese que en x = 3, y = log(9 - 18 + 9) = log 0, que no existe.
Ejercicio 3. Hallar el dominio de la función y = log ((x^2 - 1) / (x + 3))
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Funciones exponenciales
Son aquellas en que la x figura en el exponente.
Así son funciones exponenciales y = 2^x, y = (3^(x - 1) / x, y = (x + 1) / 2^x
Las funciones propiamente exponenciales están definidas en todo R. Hay que tener en cuenta que pueden ser "mezcla" con otras, como las dos últimas anteriores.
Ejemplo 10. Hallar el dominio de y = 4^x D = R
Ejemplo 11. Hallar el dominio de y = (3^x) / (x+4) En este caso examinamos el denominador, y vemos que la función no existe si x = - 4. Por tanto, D = R -(- 4)
Y así es cómo se consiguen los Campos de existencia o Dominio de definición de las principales funciones.
Soluciones Ejercicios
1) D = R - (2)
2) D = (- infinito, 1) U (2, infinito) incluido el 1.
3) D = (-3, - 1) U (1, infinito)
(*) Recta vertical a la cual tiende la función, pero nunca llega a cortarla.
