¿Por qué un vector perpendicular al plano Ax + By + Cz + D = 0, es n (A, B, C)? )

INTRODUCCIÓN

En un artículo anterior hemos visto que la ecuación de un plano viene dada por:                               Ax + By + Cz + D = 0

Vamos a ver ahora, por qué el vector n (A, B, C) es perpendicular al plano. Se le llama vector asociado a un plano o vector normal del plano.

Tenemos que saber que el producto escalar de dos vectores u .v = IuI.IvI. cos( u, v) y también que en base ortonormal,  u.v = x1.x2 + y1.y2 + z1.z2

Si dos vectores son perpendiculares, el cos (u, v) = 0, por lo que  u.v = 0

DEMOSTRACIÓN

Viene ilustrada con la figura primera. Tenemos un plano  Ax + By + Cz + D = 0.

Tomamos dos puntos P y Q del plano.  P (x1, y1, z1) y Q(x2, y2, z2)

Como P pertenece al plano, satisface su ecuación, es decir  A x1 + B y1 + C z1 + D = 0

Como Q pertenece al plano, satisface su ecuación, es decir  A x2 + B y2 + C z2 + D = 0

Si restamos miembro a miembro estas dos ecuaciones, nos queda:

A (x1 - x2) + B (y1 -y2) + C (z1 - z2) = 0, es decir  el vector (A, B, C) y PQ son perpendiculares, pues su producto escalar es cero.

PQ está en el plano, luego n (A, B, C) es perperpendicular al plano. Es el vector asociado al plano.

Por tanto un plano queda definido si conocemos un punto de él y un vector asociado al plano.

Ejemplo 1   Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto P(5. - 3, 1) y tiene de vector asociado n( - 1, 1, 2)

El plano será de la forma - x  + y + 2z + D = 0

Como pasa por P, se verifica   - 5 - 3 + 2 + D = 0   implica que D = 6.

Por tanto el plano es  - x + y + 2z + 6 = 0

Ejemplo 2 (fig 2)   Hallar la ecuación del plano perpendicular a la recta x = y = z, y que contiene al punto    P (3, - 1, 2)

Si la recta es perpendicular al plano, un vector director de ella, es vector asociado al plano. la recta nos la dan en forma continua, por lo que v (1, 1, 1). ya tenemos un punto del plano y su vector asociado n (1, 1, 1). la ecuación del plano será:

x + y + z + D = 0.  Y como pasa por el punto P (3. - 1, 2)  se cumplirá que

3 - 1 + 2 + D = 0   implica  D = - 4  La ecuación pedida es   x + y + z - 4 = 0

Ejempo 3 (fig. 3)   Hallar la ecuación del plano que pasa por el origen de coordenadas y es perpendicular a la recta r dada por  2x + y = 5,  x - z = 2

Tenemos el punto del plano O (0, 0,0). Nos falta el vector asociado, que será el vector director de la recta, pues perpendicular al plano pedido.

La recta r viene dada en forma reducida, como intersección de dos planos. Si resolvemos el sistema, nos dará la interseción, la recta en forma paramétrica.

Hacemos z = t, y nos queda x = 2 + t ,  y = 5 - 2x = 5 - 2(2 + t) = 1 - 2t

Por tanto r es  x = 2 + t

                        y = 1 - 2t

                        z = t             Un vector director es v (1, - 2, 1) que será el asociado al plano.

por tanto el plano es x - 2y + z + D = 0. como pasa por = (0, 0, 0),    0 + D = 0  implica   D = 0

El plano pedido es x - 2y + z = 0

DIDÁCTICA

En la realización de problemas, recomendamos dibujar esquemáticamente, la situación pedida, pues facilita mucho el planteamiento del problema, y observar lo que tenemos que conseguir para hallar la ecuación pedida.