Relaciones y congruencias. Conjunto cociente.

Este es el cuarto y último artículo de una serie orientada a la teoría de conjuntos que estoy haciendo para cualquier persona que le interese iniciarse en las matemáticas universitarias. Aquí explicaré las nociones de relación entre los elementos de un conjunto, relaciones de equivalencia, clases de equivalencia y conjunto cociente, pasando como ejemplo por algunas relaciones importantes y, por último, caracterizaré los conceptos de relación de congruencia y sus clases de equivalencia.

Empecemos por lo básico:

Definición. Definimos como enunciado una proposición matemática que es inequívocamente cierta o falsa. Una relación entre dos o más elementos es un enunciado sobre ellos. Decimos que dos o más elementos están relacionados entre ellos si se cumple cierta condición, que es la caracterización de la relación, y escribimos

El lector que ya conozca este término habrá observado que otros autores utilizan la expresión aRb, o similares, para denotar que dos elementos están relacionados. Aquí, sin embargo, hemos optado por escribir con la primera notación al ser más clara y concisa.

  • Ejemplo. Dos números enteros, a y b, están relacionados entre sí si tienen el mismo número de dígitos.

Esta relación ya nos viene bien para enunciar las tres propiedades fundamentales de un cierto tipo de relación, que no nombraremos hasta más adelante.

Propiedad. Decimos que una relación es reflexiva si, y sólo si, cada elemento está relacionado consigo mismo.

La relación anteriormente citada es reflexiva, pues sea a un número entero cualquiera, a tiene los mismos dígitos que a.

Propiedad. Una relación es simétrica si, y solo si, se cumple lo siguiente:

La anterior relación es simétrica, pues nótese que no importa el orden en el que se cojan dos números naturales cualesquiera que tengan los mismos dígitos, estos estarán relacionados entre ellos.

Clases particulares de matemáticas

Propiedad. Una relación es transitiva si, y sólo si, se cumple que, sean cuales sean los elementos a, b y c

Es decir, si un primer elemento está relacionado con un segundo, y un segundo con un tercero, entonces el primero está relacionado con el tercer elemento.

Será sencillo para el lector comprobar que la relación del ejemplo es transitiva.

  • Ejemplo. La siguiente relación no es ni reflexiva, ni simétrica ni transitiva.

Dos números naturales están relacionados, y escribimos a ~ b si, y solo sí, el último dígito del primer número es igual al primero del segundo número. Para demostrar la anterior afirmación, basta con estudiar los números 23, 34, 45. Podemos afirmar que 23 no está relacionado consigo mismo, por tanto, la relación no es reflexiva. 23 ~ 34, pero no se cumple que 34 ~ 23, en consecuencia, no es simétrica. Y, aunque 23 ~ 34 y 34 ~45, no es cierto que 23 ~ 45, por tanto, no es transitiva.

Definición. Decimos que una relación es antisimétrica si no es simétrica para ningún elemento a y b.

La relación anterior tampoco es antisimétrica, pues 3 ~ 33 y 33 ~ 3.

Propiedad. Decimos que una relación es de orden si es reflexiva, antisimétrica y transitiva.

  • Ejemplo. Un número entero a es mayor o igual que otro número entero b si se cumple que (a-b) es un número no negativo. Esta relación es reflexiva, antisimétrica y transitiva, como el lector fácilmente puede comprobar.

Definición. Por otra parte, decimos que una relación es de equivalencia si es reflexiva, simétrica y transitiva. La relación de igualdad entre dos números reales es un ejemplo.

No hay nada que impida definir relaciones entre conjuntos, de esta forma, una relación de equivalencia bien podría definirse de la siguiente manera:

  • Ejemplo. Dos conjuntos están relacionados si, y sólo si, tienen la misma cardinalidad.

Recordemos que la cardinalidad de un conjunto es, informalmente, su número de elementos.

Y también se podría definir una relación de orden entre conjuntos de una manera muy similar. Del mismo modo, se pueden establecer relaciones entre cualquier tipo de elemento: conjuntos, subconjuntos, funciones, palabras, n-tuplas; incluso se pueden establecer relaciones entre relaciones, tal y como muestra el siguiente ejemplo:

  • Ejemplo. Dos relaciones están relacionadas si actúan sobre el mismo tipo de elementos. Esta relación es, por cierto, de equivalencia, como bien se podrá ver con un poco de ojo crítico.

Definición. Decimos que una relación es circular si se cumple la siguiente implicación:

Teorema. Una relación binaria es de equivalencia si, y solo si, es reflexiva y circular.

Demostración. Para que una relación sea de equivalencia tiene que ser reflexiva, transitiva y simétrica. Demostraré primero la implicación hacia la izquierda:

Suponemos que la relación es reflexiva y circular.

Queremos demostrar que la relación es simétrica, cosa que se demuestra con la siguiente implicación:

Ahora solo resta demostrar que es transitiva, pero esto es fácil al ver que es circular y simétrica, tal y como se ve a continuación:

Una vez demostrada la implicación hacia la izquierda, solo queda demostrar la implicación hacia la derecha. Esto es, que si una función es de equivalencia, entonces es reflexiva y circular. Prosigamos:

Por (1) se justifica que la relación es reflexiva, y por el primer y último componente de (4) se justifica que es circular, con lo que concluye nuestra demostración.

  • Ejemplo. Podemos establecer la siguiente relación entre pares ordenados:

Dos pares ordenados están relacionados si el cuadrado de la primera componente más el de la segunda componente del primero es igual al mismo cómputo del segundo. Es decir,

Esta relación es de equivalencia, y se demuestra de la siguiente manera:

Demostración. Primero demostramos que es reflexiva. En efecto,

Simétrica: Donde el recíproco se demuestra por simetría.

Y transitiva

De forma que aquí concluye nuestra demostración. Las demostraciones de que una relación es de equivalencia suelen desarrollarse de una manera muy similar a esta última. Dejaré una como ejercicio para el lector para que pueda saber si ha comprendido bien el concepto.

  • Ejercicio. Demostrar que la relación es de equivalencia.

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Pasaré a introducir uno de los conceptos clave de las relaciones de equivalencia, pero antes una definición preambular.

Definición. Una partición de un conjunto A es una serie de subconjuntos...

Que cumplen las siguientes propiedades:

  • Todos los conjuntos son disjuntos dos a dos. Es decir, la intersección de cualquier pareja de conjuntos que forman la partición es nula.

  • La unión de todos los conjuntos es el conjunto original.

Definición. Definimos clase de equivalencia como el conjunto de todos los elementos que están relacionados entre ellos bajo una relación de equivalencia, y se cumplen las siguientes propiedades:

Teorema. Cada elemento pertenece a una y solo una clase de equivalencia.

Teorema. Las clases de equivalencia de un conjunto forman una partición de dicho conjunto, y a esta la llamamos conjunto cociente.

  • Ejemplo. Tenemos el conjunto siguiente:

Las clases de equivalencia son las siguientes:

Y el conjunto cociente, que denotamos como:

es el siguiente:

que es, efectivamente, una partición de A.

Para acabar el artículo, me gustaría introducir una relación de equivalencia de las más importantes, y esta es la de congruencia.

Definición. Definimos el ideal de un número entero a, y lo denotamos (a), al conjunto de los múltiplos de a.

Definición. Decimos que un entero b es divisible entre a, a es divisor de b, a divide a b; si b pertenece al ideal de a, y lo denotamos

Clases particulares para universitarios

En la divisibilidad se cumplen muchas propiedades bonitas.

Teorema. Se cumple que

Teorema.

Teorema. Linealidad. Sean p, q dos números divisibles entre a, entonces se cumple que

Una vez tenemos estas definiciones en mente, podemos introducir la idea de congruencia.

Definición. Decimos que dos números son congruentes módulo p si su diferencia es divisible entre p. Dicho de otro modo,

Las congruencias tienen un campo de aplicación prácticamente infinito, y para explorarlas a fondo necesitaremos un artículo explícitamente dedicado a ello. Por ahora, nos centraremos en decir que es una relación de equivalencia.

Demostración. Reflexiva: es fácil comprobarlo, pues:

Simétrica:

Transitiva:

Entonces, por linealidad,

Y con esto queda demostrada que la congruencia es una relación de equivalencia. Las demás propiedades las dejaré para un artículo especializado en congruencias, por lo que podemos decir que hemos acabado por hoy.

Muchas gracias,

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